4. Характеристические параметры четырехполюсника: входное и выходное сопротивление, постоянная передачи.

Для расчета цепей каскадного соединения 4-полюсников вместо рассмотренных параметров можно использовать характеристические параметры, вводимые из теории цепей с распределёнными параметрами.

Для симметричных 4-полюсников вводятся два таких параметра: характеристическое сопротивление и характеристическая постоянная передачи .

Характеристическое сопротивление представляет собой такое комплексное сопротивление, при включении которого в качестве нагрузки входное сопротивление 4-полюсника становится равным нагрузочному сопротивлению:

У нас ,

Т.е.

Вывод: характеристическое сопротивление равно среднему геометрическому из сопротивлений короткого замыкания и холостого хода:

Характеристическая постоянная передачи определяется функцией передачи 4-полюсника в режиме характеристической нагрузки; величина, обратная функции передачи напряжений или токов при , принимается равной:

Постоянная передачи представляет собой натуральный логарифм от отношения комплексов напряжений(токов) на входе и выходе 4-полюсника:

Её вещественная часть- характеристическое затухание α- представляет собой измеренное в логарифмическом масштабе отношение модулей напряжений(токов) на входе и выходе 4-полюсника, а мнимая составляющая равна углу сдвига фазы между входным и выходным напряжениями(токами).

Было:

Т.е. постоянная передачисимметричного 4-полюсника для токов и напряжений одинакова и равна:

Характеристическое сопротивление и постоянная передачи полностью определяют поведение 4-полюсника, когда входное сопротивление и сопротивление нагрузки равны .

Выразим параметры передачи через характеристические параметры, называемые вторичными.

Было:

Но

Сложение и вычитание даёт:

Но

Запишем уравнение симметричного 4-полюсника через характеристические параметры:

Гиперболический котангенс постоянной передачи равен квадратному корню из отношения сопротивлений холостого хода и короткого замыкания.

Под режимом согласования при каскадном соединении 4-полюсников понимают случай, когда характеристическое сопротивление на выходе предыдущего каскада равно характеристическому сопротивлению на входе последующего каскада, и сопротивление нагрузки равно характеристическому сопротивлению последнего каскада.

Т.е. затухание и фаза равны суммам затуханий и фаз отдельных звеньев.

В случае несимметричного 4-полюсника необходимо ввести три характеристических параметра: двахарактеристических сопротивления (входа и выхода) и постоянную передачи.

Характеристическое сопротивление представляется иррациональными выражениями. Их нельзя получить с помощью цепей, состоящих из конечного числа сосредоточенных элементов; сопротивление Z является рациональной дробью.

5. Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников.

6. Матрицы параметров сложных четырехполюсников (последовательное, параллельное и каскадное соединения).

Тема № 2. Пассивные LC-фильтры

2.1. Теория фильтрующих четырехполюсников: классификация, расчет передаточных и входных функций нагруженных и ненагруженных пассивных фильтров типа К и m.

Электрический фильтр представляет собой 4-полюсник пропускающий без затухания(или с малыми затуханиями) сигнала, частоты которых лежат заданной полосе (полосе пропускания), и задерживающий или пропускающий с большим затуханием сигналы с частотами вне этой полосы (полосы задержки).

Граничную частоту между полосой пропускания и полосой задержки называют частотой среза . Различают фильтры: нижних частот с полосой пропускания , полосовой фильтр пропускающий частоты в полосе , заграждающий фильтр с полосой задержки .

Наиболее простым получается расчет типовых звеньев Т- и П образного вида:

Расчёт А- параметров этих 4-полюсников уже производился.

В случае фильтров типа К продольная и поперечная ветви являются дуальными и произведение их сопротивлений является положительной вещественной константой.

Пусть каждое такое звено нагружено на его характеристическое сопротивление. Известно:

Для реактивных 4-полюсников:

Т.е. являются величинами противоположного знака.

Т.е. если знаки совпадают то cthγ имеет вещественное значение, а - мнимое.

Заметим, что

Рассмотрим два возможных случая:

1. имеют одинаковые знаки

cthγ- мнимый, следовательно:

thα=0 >> α=0 при β≠0

т.е. получили полосу пропускания, где затухание α=0 и происходит лишь сдвиг сигналов по фазе:

В полосе пропускания характеристическое сопротивление вещественно.

2. Знаки различны

cthγ имеет вещественное значение:

tgβ=0; β=0,π,2π……;

thα≠0, α>0

Т.к. α>0, имеем полосу задержки в которой происходит затухание сигнала:

Фазовый сдвиг здесь не меняется имеет чисто мнимое значение(реактивное).

Расчет звена типа К состоит в том, что для заданных структур звеньев из реактивных элементов составляются выражения для и определяются их нули и полюсы.

Граничная частота полосы пропускания(частота среза) равняется тому полюсу, при котором происходит переход от совпадения к несовпадению знаков .

Пример:

Р асчёт Т-образного фильтра нижних частот

Проводимость короткого замыкания:

На рисунке показаны графики функций :

Частота среза равна полюсу-резонансной частоте контура, получающегося при коротком замыкании входа и выхода:

При знаки совпадают α=0-полоса пропускания.

При знаки различны, полоса задержки α>0.

Примерные графики затухания и фазы:

α ,β π β

α

ω

Напряжение на выходе отсекает от напряжения на входе, причем в полосе задержки- на π, напряжение на емкости сдвинуто на π относительно U₁ –вход.

Если соединить каскадно n звеньев то в n раз увеличится затухание в полосе задержки и фазовый угол:

1

s=jω

ω

Нагрузка фильтров обычно бывает активной, а -реактивное, т.е.согласование фильтра с нагрузкой в полосе частот выполнить не удается. Другим существенным недостатком фильтров типа К является малая крутизна нарастания затухания при переходе из полосы пропускания в полосу задержки.

Эти недостатки можно уменьшить если применить производные звенья типа m. Видоизменение состоит в замене поперечной емкости исходной схемы типа К(прототипа) последовательным резонансным контуром или продольной индуктивности прототипа параллельным контуром.

При m=1 – последовательное произвольное звено фильтра типа m переходит в звено прототипа К- типа.

Частота среза и характеристическое сопротивление звена m- типа и звена прототипа К- типа одинаковы.(эта частота соответствует резонансной частоте контура при коротком замыкании входа и выхода)

Поэтому звенья типа m могут каскадно соединяться со звеньями типа К.

Т-образное симметричное звено разобьём на два каскадно соединённых навстречу друг другу одинаковых Г-образных 4-полюсника.

где для П-образной схемы(расчет раньше) положить и учесть:

α

m=0 m=1

m=0.6

m=1

0 ω 0 ω

Значение m≈0,6 является оптимальным, т.к. обеспечивает наибольшую равномерность (постоянство) в полосе пропускания. Это улучшает согласование фильтра с нагрузкой в полосе пропускания.

Наличие в поперечной ветви последовательного контура с резонансной частотой, превышающей частоту среза даёт полюс затухания(бесконечное затухание).Это приводит к увеличению крутизны затухания вблизи границы полосы задержки. Чем меньше m, тем ближе .

В полосе задержки затухание фильтра типа m изменяется немонотонно, в отличие от фильтра типа К, что является недостатком фильтров типа m(не везде достаточное затухание). Для устранения недостатков(частичного) тех и других фильтров, m и К фильтры соединяют каскадно: