4. Внецентренное сжатие короткого бруса.

Пусть имеем брус, длина которого мала и искривление оси не влияет на характер действия нагрузок. К брусу приложена одна сжимающая сила Р в точке с координатами Z_p и Y_p .

Рис. 20

Воспользовавшись правилом параллельного переноса сил перенесем ее в центр. Для этого приложим в центре площади две одинаковые, противоположно направленные силы Р₁ = Р₂ = Р Тогда пара сил Р и Р₂ создают момент, который можно разложить на два момента относительно оси У и относительно оси Z .

Рис. 21

Оставшаяся незадействованной сила Р₁ ( после выделения в пару Р и Р₂) – центрально прило-женная, сжимающая, равная Р. Получились те же три внутренних силовых фактора, что и в предыдущем случае.

Рис. 22

Тогда выражение напряжения для произвольной точки К имеет вид:

σ = y_к + _к

Разберемся со знаками. Напряжения во всех точках сечения от продольной, центрально приложенной сжимающей силы имеет знак минус. Чтобы получить этот знак в формуле при подстановке значения силы будем подставлять ее со своим знаком (минус). На рис.22 видно, что моменты и вызывают в точке К сжатие. При подстановке силы Р со своим знаком (минус) и учитывая знаки координат получаем:

σ = y_к + _к = + _к + _к = - Р( + _к + _к )

Если вынести за скобки площадь сечения, получим в знаменателе второго и третьего членов выражения вида и которые равны квадратам радиусов инерции относительно соответствующих осей. = ; =

Получаем выражение напряжения в произвольной точке при внецентренном сжатии

σ = - ( + _к + _к )

Уравнение нейтральной линии находим, приравняв напряжение нулю. Т.к. не может равняться нулю , то нулю равно выражение в скобке

+ _к + _к = 0 Отрезки, отсекаемые на осях У и Z нейтральной линией найдем, положив поочередно _к= _о= 0 и _к = _о = о

тогда получаем _о = - и _о = -

Из полученных выражений следует, что нейтральная линия пересекает координатные оси в точках, принадлежащих квадранту, противоположному тому, в котором находится точка приложения силы Р.

Рис. 23

Опасные точки сечения находятся как наиболее удаленные от нейтральной оси. В нашем случае это точки А и В. Условия прочности для этих точек можно записать в виде:

σ_мин = σ_а = - ( + _а + _а ) ≤ [σ_сжат]

σ_мах = σ_в = - ( + _в + _в ) ≤ [σ_раст]

Расстояние нейтральной линии от центра тяжести сечения и величины зон сечения, испытывающих разные по знаку напряжения, зависят от координат точки приложения силы.

Очевидно, что при изменении положения точки приложения силы можно изменять положение нейтральной линии и даже вывести ее за пределы сечения. При этом напряжение во всем сечении будет иметь один знак ( при внецентренном сжатии - минус). Это весьма важно для материалов плохо сопротивляющихся растяжению ( например каменная кладка).

Часть площади поперечного сечения вокруг центра площади, при приложении силы в которой, напряжения во всем сечении имеют один знак, называется ядром сечения.

Рис.24

Определим положение ядра сечения для простейшего сечения в форме прямоугольника. Для этого проведем несколько нейтральных линий так, чтобы они касались и нигде не пересекали его. Установим координаты этих нейтральных линий, и используя ранее полученные выражения найдем координаты точек приложении силы, которые соответствуют заданным нейтральным линиям.

_р= - _р= -

1. Например, нейтральная линия №1 , проходящая через точки А и С имеет координаты ;

Вычислим значения квадратов радиусов инерции

= = = ; = =

Тогда _р= - = = 0 и _р= - = - = - координаты точки приложения силы, которая вызывает появление нейтральной линии №1. Обозначим эту точку как «1»

2.Нейтральная линия №2, проходящая через точки А и Д имеет координаты ; ;

Тогда _р= - = =- и _р= - = - = 0 координаты точки приложения силы, которая вызывает появление нейтральной линии №2. Обозначим эту точку как «2»

3.Нейтральная линия №3, проходящая через точки В и Д имеет координаты ;

Тогда _р= - = = 0 и _р= - = = координаты точки приложения силы, которая вызывает появление нейтральной линии №3. Обозначим эту точку как «3»

4.Нейтральная линия №4, проходящая через точки В и С имеет координаты ; ;

Тогда _р= - = = и _р= - = - = 0 координаты точки приложения силы, которая вызывает появление нейтральной линии №4. Обозначим эту точку как «4» Соединив полученные точки 1, 2, 3 и 4 прямыми получаем ромб, который и является ядром сечения. Длины осей ядра равны трети длины соответствующей стороны, и

Для более сложных сечений, количество нейтральных линий, которые необходимо провести может быть больше. Соответственно больше будет и количество точек, ограничивающих ядро. Общим является правило, что ядро сечения является выпуклой фигурой, размеры которой для сплошных сечений колеблется от одной трети до одной четвертой соответствующего размера всего сечения.