Тема 21 тонкостенные оболочки.

Литература:

Г.С.Писаренко Сопротивление материалов глава 17

Вопросы:

Общие понятия. Напряжения в осесимметричной оболочке. Уравнение Лапласа. Понятие о расчете колец жесткости.

1.Общие понятия.

Оболочкой называется пластинка, изогнутая по некоторой поверхности. Тонкостенные оболочки широко применяются в различных областях техники. К ним относятся цистерны, водонапорные резервуары, газовые баллоны, ку­пола в зданиях, герметические перегородки в самолетах и подводных лодках, аппараты химической промышленности и т. д.

Рис.112

В общем случае в сечениях выделенного из оболочки элемента будут дейст­вовать продольные (растягивающие или сжимающие) усилия , сдвигающие уси­лия , поперечные силы , изгибающие и крутящие моменты .(Рис. 113)

Рис. 113

Точный расчет оболочек с учетом всех этих усилий чрезвычайно сложен. Поэтому в инженерной практике обычно используются приближенные методы.

Наиболее просто решается задача расчета осесимметрнчной оболочки, т. е. представляющей собой тело вращения с нагрузкой, обладающей осевой симметрией.

Задача максимально упрощается, когда можно принять, что нормальные напряжения по толщине оболочки распределены равномерно.

Во-первых, если оболочка представляет собой тело вращения и нагрузка симметрична относительно оси оболочки, то задача называется осесимметричной. В этом случае для всех сечений, образованных плоскостями, проходящими через ось симметрии, и ортогональных им сечений справедливы равенства

Во-вторых, если по виду оболочки, характеру нагрузки и закрепления можно по тем или иным соображениям прийти к выводу, что какие-то усилия или моменты всюду малы по сравнению с остальными усилиями или моментами, то принимают допущения, что эти усилия и моменты равны нулю. Например, часто полагают, что

Теория оболочек, построенная при этом предположении, называется без­моментной.

По безмоментной теории можно с достаточной точностью определять на­пряжения в зонах оболочки, достаточно удаленных от точек приложения сосре­доточенных сил и моментов, от мест жесткого закрепления оболочки, от ребер усиления и других упругих и жестких связей.

Изгибные напряжения обычно носят местный характер и достигают значи­тельной величины вблизи мест закрепления или приложения нагрузки. Для оп­ределения этих напряжений применяются специальные методы теории упругости.

Чем тоньше оболочка, тем точнее результаты применения безмоментной теории.

В настоящей главе рассматриваются только тонкостенные осесимметричные оболочки. Предполагается, что толщина стенки h не превышает 0,05 наимень­шего радиуса кривизны оболочки.

В этом случае можно считать, что напряжения по толщине стенки распре­деляются равномерно.

2. НАПРЯЖЕНИЯ В ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ОБОЛОЧКЕ

Рассмотрим резервуар, находящийся под равномерным внутренним или на­ружным давлением р. Вырежем двумя смежными меридиональными сечениями и двумя широтными сечениями (плоскость сечения перпендикулярна к мери­диональной) прямоугольный криволи­нейный элемент оболочки АВСD (рис.112 и рис.114 ).

Рис.114

На гранях этого элемента будут действовать нормальные напряжения:

—меридиональное напряжение; — широтное или окружное напряжение. Оба эти напряжения являются главными.

Радиусы кривизны оболочки(ее срединной поверхности) меридиональный и широтный.

Обозначим длины граней элемента через и (рис.115).

В гранях элемента соответ­ственно будут действовать растягивающие усилия N₁ и N₂ (в случае внутренне­го давления). Здесь N₁ и N₂ — соответственно нормаль­ные усилия, приходящиеся на единицу длины контура элемента;

Рис. 115

Рассмотрим условие равновесия элемента, спроектировав на нормаль 0 0₁ (рис.115) внутренние усилия, действующие по контуру эле­мента, а также давление р, действующее на выделенный элемент пло­щадью

2 N₁ + N₂ + (N₂ + dN₂ - p· = 0

Учитывая малость углов и пренебрегая величинами вто­рого порядка малости, находим + = p

Учитывая, что · h , N₂= и то, что , получаем

+ = уравнение Лапласа.

где р —давление в данной точке резервуара; h —толщина стенки;

Рис.116

Для определе­ния двух неизвестных, и одного уравнения Лапласа не доста­точно. Второе уравнение легко можно получить из рассмотрения усло­вий равновесия нижней части оболочки радиусом r , отсеченной кони­ческой поверхностью (рис.116 ) 2𝜋r· - p· 𝜋r² - Q_ж- Q_p = 0

где Q_ж — вес жидкости или сыпучего тела, находящейся в рассматри­ваемой части резервуара; Q_p— собственный вес рассматриваемой части резервуара. Отсюда меридиональное напряжение в рассматриваемом сечении стенки будет

=

Зная меридиональное нормальное напряжение, легко определить из уравнения Лапласа .

Так как задача определения напряжений в стенках резервуара решалась в предположении, что напряжения по толщине стенки распределены равномерно, не было необходимости рассматривать геомет­рическую и физическую стороны задачи, т. е. в принятой постановке задача о расчете тонкостенных сосудов оказалась статически определимой.

Нормальные напряжения и , действующие в площадках, где отсутствуют касательные напряжения являются главными. Что касается третьего главного напряжения, направленного по нормали к поверхности оболочки, то оно на внутренней поверхности равно p, а на наружной — нулю (при внутреннем давлении). Поскольку в тонкостенных оболочках и значительно больше р, последним по сравнению с и пренебрегают, т. е. полагают равным нулю.

Следовательно, будем полагать, что материал оболочки находит в плоском напряженном состоянии. Поэтому при расчете на прочность в зависимости от состояния материала следует пользоваться соответствующей теорией прочности. Так, по IV теории прочности условие прочности будет иметь вид = ≤ [σ]

Величина допускаемых напряжений [σ] при расчете резервуаров устанав­ливается в соответствии с принятыми нормами расчета. В нормах ра­счета учитываются, марка стали, конструктивные особенности резервуаров, тип заклепочных или сварных швов, температурный режим при эксплуатации ре­зервуара и т. д. Кроме того, к найденной по расчету толщине стенки резервуара сле­дует добавить запас на коррозию в размере 1—2 мм.

Деформации (относительные удлинения) в меридиональном и широтном на­правлениях равны соответственно

Ниже приведены расчетные формулы для резервуаров различных форм.

А) Сферический баллон заполнен газом, давление которого равно р. Подставляя в уравнение Лапласа = = R; = = σ , находим 2 =

откуда σ = = = Условия прочности по I , III и по IV теории прочности дают одинаковое выражение = ≤ [σ]

Б) Цилиндрический баллон заполнен газом, давление которого равно р.

Рис.117

Подставляя в уравнение Лапласа, = R = ∞ находим = Меридиональное напряжение возникает за счет давления, действующего на торцы. Площадь торца 𝜋 Усилие в меридиональном направлении равно р· 𝜋 ; площадь сечения - 2𝜋R·h ; тогда = = или = по IV теории прочности условие прочности будет иметь вид = ≤ [σ]

В) Купол в виде шарового сегмента радиусом R и толщи­ной стенки h (рис.118 ) изготовлен из материала плотности γ.

Рис. 118

Вес материала, соответствующего единице площади поверхности купола, q =γh.

Его составляющая, нормальная к поверхности, = q· = γh·

играет роль давления, приложенного к поверхности.

Внутри же ку­пола давление равно нулю, так что в уравнении Лапласа следует полагать р = — а в уравнении зоны р = 0.

Учитывая, что = = R, из уравнения Лапласа находим + = = γR·

Чтобы получить дополнительное уравнение, вычислим вес части АСВ резервуара: Q_p=q·S_ACB= γh· S_ACB

где площадь боковой поверхности шарового сегмента АСВ S_ACB=2𝜋RH_c = 2𝜋R²(1- )

Значит, Q_p= γh·2𝜋R²(1- )

Подставив теперь в формулу + = = γR· выражение для Q_p ; r = R 𝛼 = 90° —φ; р = О,

а также учтя (знаком «минус»), что в сечении АВ вес части АСВ вы­зывает сжатие, получим = -

Тогда из уравнения = γR·

Меридиональные напряжения, всюду сжимающие и возрастают по мере удаления от вершины купола к краю.

Кольцевые напряжения в верхней части купола отрицательны (сжимающие); при φ = 51° 50' они обращаются в нуль, а при φ > 51° 50' становятся рас­тягивающими.

Полученные результаты верны, если опорное устрой­ство купола такое, что в нем могут возникать только реакции, на­правленные по касательной к меридиональной кривой.

3. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ КОЛЕЦ ЖЕСТКОСТИ. РАСПОРНЫЕ КОЛЬЦА В ОБОЛОЧКАХ

До сих пор мы рассматривали оболочки, меридиональные сечения которых представляли собой плавные кривые с непрерывно изменяю­щейся кривизной. Расчет такой оболочки по безмоментной теории (если толщина оболочки мала) дает вполне приемлемые для практики результаты.

Рис.119 Рис.120 Рис.121

Теперь исследуем влияние переломов меридиональной кривой на напряженное состояние оболочки. Пусть в некотором сечении А — А (рис.119 ) оболочка имеет перелом, так что касательные к меридио­нальной кривой слева и справа от точки А образуют между собой угол не 180°, а 180° — (𝛼₁ + 𝛼₂) Рассмотрим меридиональные на­пряжения и (рис. 120) в сечениях В — В и С — С, бесконеч­но близких к А — А (эти сечения образованы коническими поверх­ностями О₁ВВ и 0₂СС, нормальными к срединной поверхности оболочки). Погонные усилия в этих сечениях равны h₁ и · h₂ (рис.121), где h₁ и h₂ — толщины частей 1 и 2 оболочки.

Из условия равновесия кольца ВВСС следует, что h₁ 2𝜋r = h₂ 2𝜋r

h₁ = h₂

Таким образом, проекции усилий h₁ и h₂ на ось оболочки взаимно уравновешиваются. Иная картина будет с проекциями этих усилий на плоскость А — А (рис.121 ). Складываясь, они дадут по­гонное радиальное усилие q = h₁ + h₂

Усилие q можно рассматривать как местную нагрузку, сжимаю­щую оболочку. Эта нагрузка может вызвать в оболочке значитель­ные изгибные напряжения. Чтобы уменьшить изгиб, в резервуарах часто устанавливают кольца жесткости, или распорные кольца (рис.122 ), которые и принимают на себя радиальные усилия. Распорное кольцо нагружено по схеме, показанной на рис.123. В нем возникают только сжимающие напряжения, и условие проч­ности для кольца имеет вид = [σ]

где Rк — радиус оси кольца; Aк — площадь поперечного сечения кольца.

Иногда вместо распорного кольца создают местное утолщение оболочки (рис.124 ), загибая края днища резервуара внутрь обе­чайки.

Рис.122 Рис.123 Рис.124

Если кольцо сжато, его следует проверить на устойчивость. Если оболочка испытывает внешнее давление, то меридиональ­ные напряжения будут отрицательными (сжимающими) и радиальное усилие q получится также отрицатель­ным, т. е. направленным наружу. Тогда кольцо жесткости будет работать не на сжатие, а на растяжение. При этом, очевидно, усло­вие прочности останется тем же. Заметим, что распорное кольцо не уничтожает совсем, а лишь уменьшает изгибные напряжения. При наличии кольца причиной появления изгиба в оболочке является разли­чие радиальных перемещений в сечении по коль­цу и в соседних с кольцом поперечных сечениях оболочки (от сжатия диаметр кольца и прикреп­ленной к нему оболочки должен уменьшаться, а в соседних с кольцом сечениях от действия растягивающих широтных напряжений диаметр оболочки должен увеличиваться).