3.1 Бесконечно длинная балка при действии одной силы р.

Начнем исследование работы балок на упругом основании с простейшего случая. Наиболее простым решение получается если балку загрузить одной силой Р в начале координат. Схема деформации, приведенная на следующем рисунке (рис. 2) , получается симметричной, а нагрузка во всех остальных точках только реактивная. Максимальный прогиб имеет место под силой, в начале координат. По мере удаления от нее прогиб уменьшается до нуля в первой нулевой точке О₁ , а затем балка, изгибаясь, поднимается над поверхностью упругого основания и вновь опускается к второй нулевой точке О₂ и т.д. до бесконечности.

С целью упрощения расчета, за счет уменьшения его точности введем допущение, что реактивное усилие возникает на всех участках балки, в том числе и там, где балка поднимается над грунтом. Понятно, что грунт не работает на растяжение. Поэтому приходится выбирать между точностью и простотой.

Бесконечно длинная балка при действии одной силы Р.

Рис. 2

Форма изогнутой оси балки(эпюра прогибов) при загружении одной силой имеет форму, изображенную на чертеже (Рис. 2) . Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид:

Можно повысить порядок производной, если вспомним дифференциальные зависимости между поперечными силами и моментами. = Q Здесь необходимо уточнить, что q - интенсивность распределенной нагрузки, приложенной к балке. В нашем случае роль этой нагрузки выполняет реактивное усилие r_x. Тогда при двукратном дифференцировании уравнения изогнутой оси получаем дифференциальное уравнение четвертой степени. Приведем его к стандартному виду. Для этого перенесем влево и приравняем выражение нулю. = 0 здесь r_x = - α₀ ∙b ∙ y тогда = 0

Введем обозначение при подстановке которого в уравнение получаем стандартную форму дифференциального уравнения четвертой степени = 0

общий интеграл которого имеет вид.

у = А

Здесь А, В, С, Д произвольные постоянные, определяемые из граничных условий. определим из обозначения где осевой момент инерции вертикального поперечного сечения балки. При прямоугольном поперечном сечении Видно, что является характеристикой объединяющей упругие свойства основания, упругие свойства материала балки и геометрические характеристики ее поперечного сечения.

Определим произвольные постоянные из граничных условий. (рис.2)

1. В точке бесконечно удаленной от точки приложения силы прогиб балки равен нулю, балка сохраняет прямолинейность своей оси вдоль оси абсцисс, т.е.

При Х=∞ У=0 Подставим эти значения в общий интеграл 0 = А так как = 0 то третье и четвертое слагаемое нулевые; не равны нулю, а следовательно А = В = 0

И общий интеграл упрощается до : у = С

2.В точке приложения силы при Х=0 касательная к изогнутой оси параллельна оси Х в силу симметрии схемы, т.е. =0 = - (Д-С))

Отсюда получаем С = Д , а уравнение упрощается еще больше к виду

у = С ( )

Возьмем последовательно ряд производных до третьей включительно

= -2

² –

³

2. Мы еще не исчерпали свойства начальной точки. Третья производная от прогиба приводит нас к поперечной силе. Вырежем бесконечно малый участок балки вокруг точки

Рис.3 приложения силы. Справа от нее, при Х = О поперечная сила Q = - (рис.3) т.е. Q = EI_z = -

После подстановки третьего граничного условия получаем EI_z 4 ³ C = -

Откуда С = -

Подставим полученное значение С в выражения производных и введем обозначения.

у = - ( ) = -

= θ =

EI_z – =

EI_z =

Здесь У – прогиб балки; θ – угол поворота касательной к оси балки; изгибающий; – поперечная сила

, - функции зависящие от Их значения сведем в таблицу 1

βХ					βХ
0	1	0	1	1	0
0,1	0,990650011	0,090333011	0,809983989	0,900317	0,1
0,2	0,965067338	0,162656691	0,639753957	0,802410647	0,2
0,3	0,926657432	0,218926754	0,488803924	0,707730678	0,3
0,4	0,878440569	0,261034921	0,356370727	0,617405648	0,4
0,5	0,823067018	0,290786288	0,241494442	0,53228073	0,5
0,6	0,762836149	0,30988236	0,14307143	0,452953789	0,6
0,7	0,699718426	0,319909036	0,059900354	0,37980939	0,7
0,785398163	0,644793884	0,322396942	0	0,322396942	π/4
0,8	0,635379373	0,322328869	-0,00927837	0,313050504	1,6
0,9	0,571204708	0,318476955	-0,0657492	0,252727753	1,7
1	0,508325986	0,309559876	-0,11079377	0,19876611	1,8
1,1	0,447646192	0,29665716	-0,14566813	0,150989033	1,9
1,2	0,389864836	0,280724778	-0,17158472	0,109140058	2
1,3	0,335502175	0,26260024	-0,1896983	0,072901935	2,1
1,4	0,284922293	0,243008912	-0,20109553	0,041913381	2,2
1,5	0,238354819	0,222571216	-0,20678761	0,015783603	2,3
1,570796327	0,207879576	0,207879576	-0,20787958	0	π/2
1,6	0,195915148	0,20181043	-0,20770571	-0,005895282	1,6
1,7	0,157623056	0,181160822	-0,20469859	-0,023537766	1,7
1,8	0,123419677	0,160975931	-0,19853218	-0,037556254	1,8
1,9	0,093182823	0,141536797	-0,18989077	-0,048353974	1,9
2	0,066740675	0,123060025	-0,17937937	-0,05631935	2
2,1	0,043883885	0,105705536	-0,16752719	-0,061821651	2,1
2,2	0,024376173	0,089583955	-0,15479174	-0,065207782	2,2
2,3	0,007963479	0,074763542	-0,14156361	-0,066800063	2,3
2,35619449	0	0,06701974	-0,13403948	-0,06701974	3π/4
2,4	-0,005618211	0,061276637	-0,12817149	-0,066894849	2,4
2,5	-0,016636287	0,049125585	-0,11488746	-0,065761873	2,5
2,6	-0,025356062	0,038288131	-0,10193233	-0,063644194	2,6
2,7	-0,032036348	0,028722284	-0,08948092	-0,060758632	2,7
2,8	-0,036925949	0,02037065	-0,07766725	-0,0572966	2,8
2,9	-0,040260976	0,013164268	-0,06658951	-0,053425245	2,9
3	-0,042262873	0,007025951	-0,05631478	-0,049288824	3
3,1	-0,043137066	0,001873176	-0,04688342	-0,045010242	3,1
3,141592654	-0,043213918	0	-0,04321392	-0,043213918	π
3,2	-0,043072154	-0,00237946	-0,03831324	-0,040692695	3,2
3,3	-0,042239543	-0,00581816	-0,03060322	-0,036421382	3,3
3,4	-0,040793459	-0,00852824	-0,02373697	-0,032265217	3,4
3,5	-0,038871277	-0,01059274	-0,01768581	-0,028278542	3,5
3,6	-0,036594084	-0,01209131	-0,01241147	-0,024502778	3,6
3,7	-0,034067441	-0,01309942	-0,00786861	-0,020968024	3,7
3,8	-0,031382292	-0,01368773	-0,00400682	-0,017694558	3,8
3,9	-0,028615959	-0,0139217	-0,00077256	-0,014694257	3,9
3,926990817	-0,02786407	-0,01393204	0	-0,013932035	5π/4
4	-0,025833222	-0,01386132	0,001889421	-0,011971901	4
4,1	-0,023087412	-0,01356104	0,00403467	-0,009526371	4,1
4,2	-0,020421525	-0,01306978	0,005718038	-0,007351744	4,2
4,3	-0,017869319	-0,01243105	0,006992784	-0,005438267	4,3
4,4	-0,015456372	-0,01168314	0,007909912	-0,00377323	4,4
4,5	-0,013201108	-0,01085938	0,008517649	-0,00234173	4,5
4,6	-0,011115758	-0,00998842	0,00886108	-0,001127339	4,6
4,7	-0,009207257	-0,00909458	0,008981901	-0,000112678	4,7
4,71238898	-0,008983291	-0,00898329	0,008983291	0	3π/2
4,8	-0,007478088	-0,00819818	0,008918277	0,000720095	4,8
4,9	-0,005927035	-0,00731591	0,008704795	0,00138888	4,9
5	-0,00454988	-0,00646118	0,008372482	0,001911301	5
5,1	-0,003340023	-0,00564446	0,007948892	0,002304435	5,1
5,2	-0,002289032	-0,00487363	0,007458237	0,002584602	5,2
5,3	-0,00138713	-0,00415434	0,006921553	0,002767212	5,3
5,4	-0,000623612	-0,00349025	0,006356895	0,002866642	5,4
5,497787144	0	-0,00289619	0,005792371	0,002896186	7π/4
5,5	0,00001	-0,00288338	0,005779553	0,002896171	5,5
5,6	0,000533599	-0,00233434	0,005202275	0,002867937	5,6
5,7	0,000950345	-0,00184257	0,004635495	0,00279292	5,7
5,8	0,00127435	-0,00140661	0,004087567	0,002680959	5,8
5,9	0,001516561	-0,00102421	0,00356499	0,002540776	5,9
6	0,001687422	-0,0006926	0,003072626	0,002380024	6
6,1	0,001796775	-0,00040857	0,002613907	0,002205341	6,1
6,2	0,001853789	-0,00016862	0,002191037	0,002022413	6,2
6,283185307	0,001867443	0	0,001867443	0,001867443	2π
6,3	0,001866921	0,000003	0,00180517	0,001836045	6,3
6,4	0,001843887	0,000193653	0,00145658	0,001650234	6,4
6,5	0,00179166	0,00032342	0,00114482	0,00146824	6,5
6,6	0,001716477	0,000423811	0,000868855	0,001292666	6,6
6,7	0,00162386	0,000498335	0,000627191	0,001125525	6,7
6,8	0,001518644	0,000550331	0,000417982	0,000968313	6,8
6,9	0,001405019	0,000582943	0,000239133	0,000822076	6,9
7	0,001286564	0,000599094	0,000009	0,00068747	7
7,068583471	0,001204116	0,000602058	0	0,000602058	9π/4

По данным таблицы 1 построим эпюры прогибов, углов поворота, моментов и поперечных сил.

Рис.4

Теперь на рис.4 видно, что на всех графиках выявились точки, в которых прогибы, моменты и поперечные силы равны нулю. Причем, расстояние до первого нуля на всех эпюрах разное ( на эпюре прогибов Х₁⁰= ; на эпюре углов поворота Х₁⁰= ; на эпюре моментов Х₁⁰= на эпюре поперечных сил Х₁⁰= . А вот расстояния между первой и второй нулевой точками, как впрочем, и всеми последующими, на всех эпюрах одинаково, и равно Х₂⁰ = Х₃⁰ = Хn⁰ = Значения ординат на эпюрах имеют максимальное значение при Х = 0 У_мах = - Q_мах

Наибольшее значение прогиба У на участке между первым и вторым нулями составляет 4,3% от максимального значения; наибольшее значение момента на участке между первым и вторым нулями составляет 20,78% от максимального значения; наибольшее значение поперечной силы Q на участке между первым и вторым нулями составляет 6,7% от максимального значения.

На расстоянии 2π/ от начала координат (в обе стороны ) прогиб, момент и поперечная сила, являясь локальными экстремумами, составляют 0,186% от своего максимального значения. Это пренебрежимо мало. Поэтому, балку длиной ℓ более или равной 4π/ можно считать бесконечно длинной.

Балки, у которых ℓ < 4π/ принято называть короткими.

Короткие балки можно разделить на: упругие (деформация которых велика), и абсолютно жесткие(деформация которых мала по сравнению с величиной просадки основания).

Балку на упругом основании со свободными концами можно считать абсолютно жесткой, если соблюдается неравенство ℓ ≤ 1,2/

Тогда короткой упругой является балка для которой 1,2/ < ℓ ≤ 4π/