Тема 20 упругие колебания

Классификация механических колебаний

Все колебательные процессы, с которыми приходится встречаться в физике и технике, можно классифицировать в соответствии с законом, по которому величина, характеризующая колебательный процесс, изменяется во вре­мени. Такую классификацию можно назвать кинематической в широком смысле этого слова. Колебания могут быть периоди­ческими и непериодическими. Кроме того, имеется широкий промежуточный класс, так называемых почти периодических ко­лебаний.

Периодические колебания описываются периодической функцией, значение которой повторяется через определенный отрезок времени Т, называемый периодом колеба­ний, т.е. f(t +T) = f(t) при любом значении переменной t .

Непериодическими называются функ­ции, неудовлетворяющие указанному условию.

Почти периодические функции определяются условием: | f₁(t +τ) – f₁(t)| ≤ ε при любом t, где τ и ε - постоянные величины. Очевидно, что если ε мало по сравнению со средним значением модуля функции f₁(t) за время t то почти периодическая функция будет близка к периодической, в которой τ будет почти периодом.

К наиболее распространенным периодическим колебаниям относятся гармонические колебания. Чаще других в природе и технике встречаются гармонические колебания изменение ординаты, в которых описывается синусоидой.

Непериодические колебания гораздо разнообразнее периодических и чаще всего бывают затухающими или реже, нарастающими. Затухающие описываются выражением у = А^-δt Нарастающие описываются выражением у = А^+δt

Строго говоря, название «затухающие гармонические колебания» не совсем логично, так как гармонические колебания не могут зату­хать. Тем не менее, на практике этим названием пользуются.

Классификация колебательных процессов по внешним признакам не является достаточной, а потому, она должна быть дополнена клас­сификацией колебаний по основным физическим признакам рассматри­ваемых колебательных систем.

При исследовании колебательных движений упругих систем важно знать, какое число независимых параметров определяет положение системы в каждый данный момент времени. Число таких параметров называется числом сте­пеней свободы.

В простейших случаях положение системы может быть определено одной величиной. Такие системы называются системами с одной степенью свободы. Колебательная си­стема, состоящая из груза Q, подвешенного на пружине (рис.80), будучи устроена так, что возможны только вертикальные перемещения груза, является системой с одной степенью свободы. Ее положение в любой момент времени может быть определено одним параметром — перемещением по вертикали.

Примером системы с двумя степенями свободы может служить невесомая балка, несущая две массы (рис.81). Здесь независимыми параметрами, определяющими поло­жение системы в любой момент времени, могут служить перемещения масс m₁ и m₂ относительно положения равновесия. Уве­личивая число сосредоточенных масс колеблющейся балки, переходим в пределу к балке c распределенной по всей длине массой— колеба­тельной системе (рис.82) с бесконечным числом степеней свободы.

Классификация механических колебаний может быть проведена и по другим признакам. В частности, принято различать следующие четыре типа колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, параметрические колебания и автоколебания.

Рис.80 Рис.81 Рис.82

Свободными (собственными) называются колебания, возникающие в изолированной системе вследствие внешнего возбуждения («толчков»), вызывающего у точек системы начальные отклонения от положения равновесия, и продолжающиеся затем благодаря наличию внутренних упругих сил, восстанавливающих равновесие. Необходимая энергия, обеспечивающая процесс колебаний, поступает извне в начальный момент возбуждения колебаний. Период колебаний (время одного пол­ного колебания) или частота колебаний (величина, обратная периоду) зависит от самой системы. Частота колебаний является вполне опреде­ленной для данной системы и называется собственной частотой колебаний системы. Свободные колебания из-за потерь энергии в системе практически всегда являются затухающими, хотя при анализе свобод­ных колебаний указанными потерями энергии часто пренебрегают.

Вынужденными называются колебания упругой системы, проис­ходящие при действии на систему (в течение всего процесса колебаний) заданных внешних периодически изменяющихся вынуждающих сил.

Характер колебательного процесса при этом определяется не только свойствами системы, но существенно зависит также от внешней силы. При­мером вынужденных колебаний могут служить поперечные колебаний балки (рис.83), вызываемые неуравновешенной массой ротора и установленного на ней работающего электромотора.

Вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы и поддерживаются за счет непрерывного поступления энергии извне. При совпадении частоты вынуждающих сил с частотой собствен­ных колебаний системы наступает резонанс, характеризующийся резким возрастанием амплитуды вынужденных колебаний, представ­ляющим опасность для работы рассматриваемой механической коле­бательной системы.

Параметрическими называются колебания упругой системы, в про­цессе которых периодически изменяются физические параметры системы — величины, характеризующие массу или жесткость системы. При этом внешние силы не влияют непосредственно на колебательное движение, а изменяют физические параметры системы. Примером параметрических колебаний могут служить поперечные колебания массы на вращающемся

стержне некруглого сечения, имеющим разный экваториальный момент инерции относительно взаимно перпендикулярных осей.

Рис. 83

Автоколебаниями, или самоколеба­ниями, упругой системы называются незатухающие колебания, поддерживаемые такими внешними силами, характер воздействия которых определяется самим колебательным процессом. Автоколебания возникают в системе в отсутствие внешних перио­дических воздействий. Характер колебаний определяется исключи­тельно устройством системы. Источник энергии, восполняющий потери энергии в системе в процессе ее колебаний, составляет неотъемлемую часть системы. Таким образом, автоколебания отличаются от свобод­ных колебаний, являющихся затухающими, тем, что они не затухают. С другой стороны, автоколебания отличаются от вынужденных и параметрических колебаний, вызываемых внешними силами, характер действия которых в обоих случаях задан, тем, что они являются само­возбуждающимися колебаниями, в которых процесс колебаний управ­ляется самими колебаниями. Примером автоколебаний может служить вибрация частей само­лета (флаттер), когда источником дополнительной энергии, поддер­живающей колебания системы, является энергия воздушного потока, а также трепетание флага на ветру.

Классификацию колебаний принято также проводить по виду де­формаций упругих элементов конструкции. В частности, применитель­но к стержневым системам различают продольные, поперечные и кру­тильные колебания.

При продольных колебаниях перемещения всех точек упругого стержня направлены вдоль оси стержня. При этом имеет место деформация удлинения или укорочения стержня, т. е. продольные колеба­ния можно называть колебаниями растяжения — сжатия.

При поперечных (изгибных) колебаниях основные компоненты перемещений (прогибы) направлены перпендикулярно к оси стержня.

При крутильных колебаниях имеют место переменные деформа­ции кручения. Возможны также изгибно-крутильные колебания, т. е. колебания, при которых одновременно имеют место переменный изгиб и кручение.