2. Расчет на прочность

Условие прочности для стержня малой кривизны, когда в се­чении действуют изгибающий момент и нормальная сила (рис. 38, а) имеет вид σ_max= + ≤ [σ]

где А — площадь сечения; W_z — момент сопротивления сечения .

Для стержня большой кривизны условие проч­ности будет σ_max= + ≤ [σ]

При этом нужно рассматривать точки сечения, в которых суммарные напряжения от изгиба и растяжения будут наибольшими (рис. 38, б, в, г). Для этих точек в формулу следует подставлять у = , или у = и соответственно R₁ = г_н — у или R₂ = г_н — у

Если брус большой кривизны изготовлен из материала, для кото­рого допускаемые напряжения на растяжение [σ₊] и сжатие [σ_-] раз­личны (чугуны, пластмассы и др.), то условия прочности должны выполняться для крайних точек сечения, как в растянутой, так и в сжатой области.

2. Определение перемещений

Д ля определения перемещений в стержнях любой кривизны удоб­но пользоваться методом Мора.

В стержнях малой кривизны можно пренебречь продольной деформацией и деформацией сдвига. Тогда в случае плоского изгиба можно пользоваться формулой Мора в виде: Δ_ip = Σ∫_s

Рис.39

При плоском изгибе бруса большой кривизны деформации элемента от действия усилий М_р и N_р тоже состоят из удлинения Δ(ds) отрезка ds оси стержня и относительного поворота dθ сечений, ограничивающих элемент (рис. 39, а, б). Взаимный угол поворота сечении Δd = d , вызванный изгибающим моментом, можно определить как d = =

Где S_х= А·е

Угол поворота сечений, вызванный осевыми силами вследствие неодинаковой длины волокон элемента (рис. 39, б), равен d =

Полный угол поворота d = d + d = +

Удлинение элемента в результате действия осевых сил Δ(ds₁) =

Удлинение, вызванное поворотом сечения на угол d Δ(ds₂) = е d е =

Полное удлинение осевого волокна Δ(ds)=

Подставляя выражение полного угла поворота и полного удлинения в формулу возможных перемещений, находим общую формулу для определения перемещен и бруса большой кривизны: Δ_ip = ds

Обычно на практике пренебрегают влиянием поперечной силы, в результате чего последнее слагаемое не учитывается.

Правило Верещагина для кривых стержней не применяется, потому, что криволинейна сама ось. А правило Верещагина используется для эпюр, из которых хотя бы одна - прямая.

Тема 16 Тонкостенные стержни.

Литература: Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. Бычков Д.В. Кручение металлических балок. Бычков Д.В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. Урбан С.С. Теория расчета стержневых тонкостенных конструкций.

Вопросы:

1. Основные понятия.

2. Расчет тонкостенных стержней замкнутого профиля.

3. Расчет тонкостенных стержней открытого профиля.

   1. Секториальные характеристики.

   2. Свободное кручение.

   3. Стесненное кручение.

   4. Внецентренное растяжение тонкостенного стержня.

   5. Общий случай загружения.

1. Основные понятия.

Стержнем называется элемент конструкций, размеры поперечного сечения которого b и h соизмеримы но значительно( в 8÷10 раз) меньше длины ℓ . Тонкостенным стержнем называется элемент конструкций у которого δ толщина материала, из которого он изготовлен, более чем в 10 раз меньше размеров поперечного сечения.

Рис.40

Для упрощения работы поперечное сечение тонкостенного стержня изображают в виде расчетной схемы – срединной линии. Срединной линией называется геометрическое место точек средин толщин стенок сечения.

Различают тонкостенные стержни открытого и замкнутого профилей. Сечение называется замкнутым, если его срединная линия образует замкнутый контур. Если срединная линия не образует замкнутых контуров, сечение называется открытым.

Работа и расчет открытых и замкнутых (закрытых) тонкостенных стержней отличаются принципиально. Прочность и в особенности жесткость тонкостенных стержней с одинаковой площадью поперечного сечения открытого и замкнутого типа ( труба с продольным разрезом и сплошная труба ) отличаются многократно.

При изучении простых деформаций применяются , в числе прочих, гипотеза малости деформаций и гипотеза плоских сечений. Главной особенностью тонкостенных стержней является то, что к ним обе эти гипотезы не применимы.

Величины перемещений как в направлении продольной оси, так и (в особенности) относительно этой оси уже при малых напряжениях настолько велики, что весьма существенно влияют на характер распределения внутренних усилий по сечению.

Сечения (поперечные) плоские до деформации, перестают быть плоскими после деформации. Это явление для тонкостенных стержней называется депланацией. Легче всего проиллюстрировать явление депланации при скручивании листа бумаги свернутого в трубку.

Особенностью тонкостенных стержней является малая жесткость сечения в направлениях перпендикулярных срединной линии поперечного сечения. Поэтому, не способный сопротивляться поперечной нагрузке в этом направлении тонкостенный стержень не воспринимает сколь-нибудь значимых касательных напряжений в направлении толщины элемента. Все касательные напряжения действуют только вдоль срединной линии. Для них характерно свойство образовывать потоки касательных напряжений в сечении (сходящихся или ветвящихся, плавно без скачков, изменяющихся вдоль срединной линии сечения).

Еще одной особенностью тонкостенных стержней, является то, что часто появляется необходимость выделения части плоскости поперечного сечения сечениями, которые являются следом пересечения плоскости продольного и поперечного сечений. Договоримся называть эти сечения местными.

И еще одна особенность заключается в том, что в поперечных сечениях тонкостенных стержней появляются внутренние усилия, которые не могут быть определены только из уравнений равновесия отсеченной части стержня.

2. Расчет тонкостенных стержней замкнутого профиля.

Приближенный расчет при кручении замкнутых тонкостенных профилей основан на гипотезе Бредта о том, что касательные напряжения в поперечном сечении распределяются по толщине стенки равномерно и направлены параллельно касательной к срединной линии контура. Касательные напряжения в любой точке замкнутого контура произвольной формы с переменной толщиной стенки определяются по формуле: = ; где - толщина стенки в произвольной точке сечения, – площадь, ограниченная срединной линией стенки профиля. Единственной переменной величиной (в одном сечении) является толщина стенки. Максимального значения касательное напряжение достигает в точке, где толщина минимальна.

=

При расчете сплошных или толстостенных стержней максимальное напряжение определяется по формуле = ; где полярный момент сопротивления ( кстати = . Тогда, по аналогии, принято обозначать как момент сопротивления при кручении тонкостенных стержней замкнутого профиля. А момент инерции при кручении замкнутых сечений определяется, как I_k = здесь интеграл берется по длине срединной линии. Угол закручивания участка стержня длиной ℓ определяется как: = · если толщина стенки постоянна δ=const = ; где длина контура. Рис.41

При растяжении-сжатии, изгибе, внецентренном растяжении-сжатии работа тонкостенных стержней закрытого профиля практически не отличается от работы сплошных стержней и может быть рассчитана по тем же зависимостям.

Особенности проявляются при расчете на срез, устойчивость и при динамических нагрузках. При загружении сосредоточенной поперечной силой, приложенной к части сечения, тонкостенный профиль сминается и нужно выполнять не расчет на срез, а конструкторские мероприятия по недопущению подобного приложения нагрузки. И вообще краевые эффекты в тонкостенных стержнях – наиболее сложно решаемая проблема.

К расчету на устойчивость и динамические нагрузки мы вернемся позднее.