Типы проверки генераторов равномерно распределен­ных псевдослучайных чисел.

Различают три типа про­верки: на периодичность, на случайность, на равномер­ность.

Проверка на периодичность. Проверка требует обязательного определения длины периода и от­резка апериодичности псевдослучайных последователь­ностей.

Для определения длины периода выполняют сле­дующие действия:

— выводят генератор псевдослучайных чисел инту­итивно за пределы предлагаемого отрезка апериодич­ности;

— регистрируют следующее за этим пределом слу­чайное число;

— генерируют случайные числа и сравнивают их с зарегистрированным числом, подсчитывая количество случайных чисел, выработанных до совпадения с заре­гистрированным случайным числом. Подсчитанное коли­чество случайных чисел является длиной периода.

Для определения отрезка апериодичности выполняют следующие действия:

— вырабатывают с помощью исследуемого генера­тора случайные числа, подсчитывая их до количества, равного длине периода. После этого параллельно с ним генерируют случайные числа вторым генератором, ана­логичным первому;

— вырабатывают случайные числа двумя генерато­рами, продолжая подсчитывать количество чисел, кото­рое сгенерировал первый генератор, до сравнения между собой чисел, выработанных разными генераторами. Под­считанное количество чисел является длиной отрезка апериодичности.

Проверка на случайность. При проверке на случайность рекомендуется использовать совокуп­ность тестов проверки:

1) частот; 2) пар; 3) комбина­ций; 4) серий; 5) корреляции.*****

Первые четыре теста характеризуются общим свой­ством: испытываемые псевдослучайные числа или их раз­ряды в них классифицируются по некоторым признакам, различным для различных тестов. Полученное эмпирическое распределение сравнивается с теоретическим.

Тест проверки частот предполагает разбиение диапазона распределения на q интервалов и подсчёт количества попаданий случайных чисел в выделенные интервалы.

Тест проверки пар заключается в подсчете количества «1»для каждого разряда случайного числа. Тест проверки комбинаций сводится к подсчету количества «1» в случайных числах.

Тест проверки серий заключается в подсчёте количества различных длин последовательностей одинаковых значений случайных чисел (независимый учёт серий различной длины: например, одна и та же серия, состоящая из четырех единиц, учитывается как одна серия из четырех, две - из трех, три – из двух единиц).

Проверка на равномерность. Разобьем отрезок [0..1] на q равных интервалов, тогда каждое случайное число попадает в один из интервалов. Вычислим относительные частоты попадания случайных чисел в каждый из интервалов и построим гистограмму. Если случайные числа равномерно распределенные, то при достаточно больших N ломаная линия должна приблизиться к теоретической прямой. Проверка по моментам распределения. Если генерируемые числа близки к равномерной случайной последовательности в интервале [0..1], то при больших значениях N математическое ожидание должно приближаться к 0,5, а дисперсия - к 1/12.

С помощью критериев согласия проверятся гипотеза о том, что выборка x₀, x₁, …, x_n произведена из генеральной совокупности с определенным распределением вероятностей. Наиболее часто применяются для этой цели критерий согласия Пирсона (критерий частот) и критерии, учитывающие различные свойства данной генеральной совокупности. Если проверяется равномерность распределения на интервале [0, 1], то случайные числа должны удовлетворять следующим свойствам:

1)  среднее значение чисел не должно существенно отличаться от 1/2;

2)  среднее значение квадратов чисел не должно существенно отличаться от 1/3;

3)  дисперсия чисел не должна существенно отличаться от 1/12;

4)  коэффициенты ассиметрии и эксцесса не должны существенно отличаться соответственно от 0 и -1.2;

5)  разделим интервал [0, 1] на m непересекающихся множеств Х₁, ..., Х_m:

,

.

Доля чисел в последовательности x₀, x₁, … которая попадает в интервал , должна несущественно отличаться от величины 

.

Рассмотрим наиболее часто употребляемый критерий . Пусть имеется выборка, состоящая из n независимых наблюдений над случайной величиной Х. Подсчитаем количество значений n_i, попавших в каждый из интервалов Х_i. Зная теоретический закон распределения, всегда можно определить вероятность p_i попадания случайной величины в интервал Х_i. Очевидно, что p₁+...+p_m=1, а n₁+...+n_m=n. Тогда теоретическое число значений случайной величины Х, попавших в интервал Х_i можно определить как np_i. Результаты проведенных расчетов обычно объединяют в следующую таблицу:

Интервалы	…	Хi	…
Эмпирические частоты	…	ni	…
Теоретические частоты	…	npi	…

Если эмпирические частоты сильно отличаются от теоретических, то проверяемую гипотезу о законе распределения отвергают, в противоположном случае - принимают.

В качестве меры отклонения эмпирических значений от теоретических выбирают величину

,

которая при n   имеет распределение с k=(m-1) степенями свободы.

Правило применения критерия сводится к следующему. Рассчитывается значение . При этом необходимым условием является наличие в каждом из интервалов по меньшей мере 10-15 наблюдений. Обычно фиксируют достаточно большую вероятность a, которую называют доверительной вероятностью или коэффициентом доверия. Вероятность 1-a называют уровнем значимости. Это означает, что в рассматриваемой задаче событие с вероятностью большей или равной a считают достоверным, а событие с вероятностью 1-a невозможным при единичном испытании. Далее выбирается уровень значимости и по таблице распределения c² определяется

  . .

Если

,

 то этот результат не противоречит гипотезе и она принимается; если же

,

то это означает, что (наступило невозможное событие, и) гипотеза должна быть отвергнута.

Этот вывод зависит от выбранной доверительной вероятности и поэтому не носит абсолютного характера. Чаще других используют доверительные вероятности 0,95 и 0,99; соответствующие уровни значимости называют 5%-ным и 1%-ным уровнями.

Критерий используется во многих случаях. Независимость чисел, появляющихся друг за другом в вырабатываемой последовательности, проверяется с помощью коэффициента автокорреляции, теста перестановок и других.

Порядок выполнения работы:

1. Ознакомиться с принципами построения и функционирования программных генераторов последовательностей псевдослучайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0…1].

2. Получить у преподавателя вариант задания (табл.1).

3. Составить и отладить программу, реализующую получение псевдослучайных чисел по заданному алгоритму.

4. В процессе исследования работы генератора необходимо подобрать наилучшие входные его параметры, при которых математическое ожидание и дисперсия будут приблизительно равны соответствующим значениям равномерно распределенных случайных чисел. Такие исследования (10-12 экспериментов) проводить при различных исходных параметрах в заданном диапазоне (согласно варианту) на последовательности, состоящей из 300 чисел. Результаты экспериментов свести в таблицу, в которой указать номер эксперимента, исходные параметры, полученные значения математического ожидания и дисперсии.

5. С помощью генератора чисел с параметрами, дающими наилучшее математическое ожидание и дисперсию, получить и вывести на печать последовательности чисел (300 чисел), определить попадание чисел в заданные интервалы (q). Распечатать данные для построения гистограмм и построить три гистограммы для 100, 200, 300 чисел в одном и том же масштабе.

6. Для генератора с параметрами, давшими наилучшие моменты распределения чисел, построить графики зависимости математического ожидания и дисперсии от изменения значений количества генерируемых чисел (50, 150, 250, 350, … , 950). Масштаб по горизонтальной оси, на которой отмечается количество генерируемых чисел, должен быть одинаковым на обоих графиках. На графике необходимо построить точки, полученные ранее при генерации 100, 200, 300 чисел, а также провести теоретические линии равномерного распределения.

7. по заданию преподавателя провести дополнительную проверку генератора, результаты которой занести в отчёт.

8. Проанализировать результаты, полученные при тестировании генератора, и сделать выводы.

Содержание отчёта

1. Название и цель работы, номер алгоритма и исходные данные.

2. Описание алгоритма работы генератора псевдослучайных чисел, блок-схема алгоритма и текст разработанной программы.

3. Результаты выбора наилучших параметров генератора должны быть представленных в виде таблицы, в которой приведены значения исходных данных и соответствующие им значения математического ожидания и дисперсии (10-12 результатов работы генератора при различных значениях переменных).

4. Выбрать наилучшие значения параметров генератора, при которых математическое ожидание и дисперсия наиболее приближены к значениям равномерного распределения.

5. Распечатка 300 полученных случайных чисел (с точностью 6 знаков после десятичной почки) по 10 чисел в каждой строке с интервалом после 10 строк (после каждой сотни).

6. Проверка работы генератора с выбранными значениями наилучших параметров, результаты расчетов для построения гистограмм и графиков должны быть сведены в таблицы.

7. Подробное объяснение и обоснование результатов, гистограмм, построенных в одном масштабе, графиков зависимости математического ожидания и дисперсии от количества генерируемых чисел (50,100,150,200,250,300,350,450,550,650,750,860,950,1000).

8. Выводы и рекомендации по результатам исследований.

Контрольные вопросы:

1. Как оценить качество последовательности псевдослучайных чисел по моментам распределения?

2. Как выполнить проверку последовательности псевдослучайных чисел на равномерность?

3. Каким образом можно получить последовательность случайных чисел?

4. Достоинства и недостатки возможных способов получения последовательностей случайных чисел?

5. В чём отличие случайных чисел от псевдослучайных?

6. Какие методы генерирования случайных чисел вы знаете?

Таблица 1.

№	АЛГОРИТМ	А	K1	K2	R0	R1	q
1,16	Ri = |[ K1( Ri-1 + K2)] |		23-37	8.3-9	0,5726-0,9875		20
2,17	Ri = |[ Ri-1 *А] |	3 - 7			0,3337-0,7573		15
3,18	Ri+1 = |[( Ri + Ri-1 )) |				0,5153 – 0,974	0,7647 – 0,999	25
4,19	Ri+1 = |[( Ri + Ri-1 ) *K1] |		1,2 -5		0,3217- 0,5763	0,254 – 0,484	20
5,20	Ri = |[ i * SQRT( А) / K2]|	4 - 9		1,1– 4			15
6,21	Ri+1 = |[ Ri *А + Ri-1 * K2]|	1 - 5		3,1 – 9	0,2134 – 0,358	0,1432 – 0,567	25
7,22	Ri = |[ K1( Ri-1 + K2)] |		2,1 – 7	1,2 – 6	0,2538 – 0,876		15
8,23	Ri = |[ Ri-1 *К1] |		3,1–11		0,3321 – 0,732		25
9,24	Ri+1 = |[( Ri + Ri-1 )) |				0,5454 – 9797	0,3521 – 0,784	20
10,25	Ri+1 = |[ Ri *А + Ri-1 * K2]|	3-13			0,3333 – 0,515	0,2174 – 0,385	25
11,26	Ri+1 = |[( Ri + Ri-1 ) *K1] |		4,5- 9		0,7589 – 0,997	0,5754 – 0,743	15
12,27	Ri+1 = |[ Ri *А + Ri-1 * K2]|	5 - 9		1,3-3	0,456 – 0,745	0,745 – 0,963	20
13,28	Ri = |[ K1( Ri-1 + K2)] |		1,5-19	2-15			25
14,29	Ri = |[ Ri-1 *К2+К1] |		2,3- 7	3,3– 6	0,3257 – 0,865		20
15,30	Ri = |[ i * SQRT( А) / K2]|	2 - 7		5 – 11			15

Критические точки распределения χ²

Таблица1.3

Число степеней свободы k	Уровень значимости 
	0,01	0.025	0.05	0,95	0,975	0,99
1	6,6	5,0	3,8	0,0039	0,00098	0,00016
2	9,2	7,4	6,0	0,103	0,051	0,020
3	11,3	9,4	7,8	0,352	0,216	0,115
4	13,3	11,1	9,5	0,711	0,484	0,297
5	15,1	12,8	11,1	1,15	0,831	0,554
6	16,8	14,4	12,6	1,64	1,24	0,872
7	18,5	16,0	14,1	2,17	1,69	1,24
8	20,1	17,5	15,5	2,73	2,18	1,65
9	21,7	19,0	16,9	3,33	2,70	2,09
10	23,2	20,5	18,3	3,94	3,25	2,50
11	24,7	21,9	19,7	4,57	3,82	3,05
12	26,2	23,3	21,0	5,23	4,40	3,57
13	27,7	24,7	22,4	5,89	5,01	4,11
14	29,1	26,1	23,7	6,57	5,63	4,66
15	30,6	27,5	25,0	7,26	6,26	5,23
16	32,0	28,8	26,3	7,96	6,91	5,81
17	33,4	30,2	27,6	8,67	7,56	6,41
18	34,8	31,5	28,9	9,39	8,23	7,01
19	36,2	32,9	30,1	10,1	8,91	7,63
20	37,6	34,2	31,4	10,9	9,59	8,26
21	38,9	35,5	32,7	11,6	10,3	8,90
22	40,3	36,8	33,9	12,3	11,0	9,54
23	41,6	38,1	35,2	13,1	11,7	10,2
24	43,0	39,4	36,4	13,8	12,4	10,9
25	44,3	40,6	37,7	14,6	13,1	11,5
26	45,6	41,9	38,9	15,4	13,8	12,2
27	47,0	43,2	40,1	16,2	14.6	12,9
28	48,3	44,5	41,3	16,9	15,3	13,6
29	49,6	45,7	42,6	17,7	16,0	14,3
30	50,9	47,0	43,8	18,5	16,8	15,0