1.9. Математическое доказательство

Невозможно переоценить значение доказательств в нашей жиз­ни и особенно в науке. К доказательствам прибегают все, но не всегда задумываются, что значит «доказать». Практические навыки доказательства и интуитивные представления о нем достаточны для многих бытовых целей, но не для научных.

Доказать какое-либо утверждение — это показать, что это логи­ческое утверждение логически следует из системы истинных и связан­ных с ним утверждений.

Доказательство является логической операцией обоснования ис­тинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений.

В доказательстве выделяют три структурных элемента:

1) доказываемое утверждение;

2) систему истинных утверждений, с помощью которых обосно­вывается истинность доказываемого;

3) логическую связь между пп. 1 и 2.

Основным способом математического доказательства является дедуктивный вывод.

По своей форме доказательство — это дедуктивное умозаключе­ние или цепочка дедуктивных умозаключений, ведущих от истин­ных посылок к доказываемому утверждению.

В математическом доказательстве важен порядок расположения умозаключений. По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства. К прямым доказательствам относится полная индук­ция, речь о которой шла в п. 1.6.

Полная индукция — способ доказательства, при котором истин­ность утверждения следует из его истинности во всех частных слу­чаях.

Полная индукция часто применяется в играх с дошкольниками типа: «Назови одним словом».

Пример прямого доказательства высказывания «Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360°»:

«Рассмотрим произвольный четырехугольник. Проведя в нем диагональ, получим 2 треугольника. Сумма углов четырехугольника будет равна сумме углов двух образовавшихся треугольников. Так как сумма углов в любом треугольнике 180°, то, сложив 180° и 180°, получим сумму углов в двух треугольниках, она составит 360°. Сле­довательно, сумма углов в любом четырехугольнике равна 360°, что и требовалось доказать».

В приведенном доказательстве можно выделить следующие умо­заключения:

1. Если фигура четырехугольник, то в ней можно начертить диа­гональ, которая разобьет четырехугольник на 2 треугольника. Дан­ная фигура четырехугольник. Следовательно, его можно разбить на 2 треугольника, построив диагональ.

2. В любом треугольнике сумма углов равна 180°. Данные фигу­ры треугольники. Следовательно, сумма углов каждого из них равна 180°.

3. Если четырехугольник составлен из двух треугольников, то сумма, его углов равна сумме углов этих треугольников. Данный че­тырехугольник составлен из двух треугольников с суммой углов по 180°. 180°+180°=360°. Следовательно, сумма углов в данном четы­рехугольнике равна 360°.

Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заклю­чения, следовательно, являются дедуктивными.

Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного. В этом случае допускают, что заключение ложно, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив это предложение к совокупности истинных посылок, проводят рассуж­дения, пока не получат противоречие.

Приведем пример доказательства от противного теоремы: «Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллель­ны между собой»:

«Допустим, что прямые а и b не параллельны, тогда они пересе­кутся в некоторой точке А, не принадлежащей прямой с. Тогда по­лучим, что через точку А можно провести две прямые а и Ь, парал­лельные с. Это противоречит аксиоме параллельности: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости только одну прямую, параллельную данной». Следовательно, наше предположение не верно, но тогда истинна исходная теорема».

Задание 15

1. Докажите истинность высказывания: «Квадрат любого четного числа делится на 4». Проведите логический анализ своего доказа­тельства.

2. Докажите методом от противного истинность высказывания: «Ни один треугольник не может иметь два прямых угла».

Ошибки в рассуждениях, неправильные чертежи, неумение ис­пользовать теоремы и формулы приводят к ложному заключению. Математики стали придумывать умышленно неправильные, мнимые доказательства, имеющие видимость правильных. Такие рассуж­дения называются софизмы (от греческого sophisma — уловка, вы­думка, головоломка). В них специально незаметно нарушаются не­которые правила, законы, построения чертежей и др., в результате чего получаются ложные выводы.

Софизмы — умышленно ложные рассуждения, имеющие види­мость правильных.

Разбор софизмов формирует умение правильно рассуждать, по­могает усваивать многие математические факты.

Пример.

- Верно ли равенство? 25+35-60=30+42-72

— Вынесем общий

множитель за скобку. 5 • (5+7—12)=6 • (5+7-12)

- Разделим правую

и левую часть равенства

на выражение в скобках. 5 = 6

— Где ошибка? На 0 делить нельзя!

Задание 16

Разгадайте софизмы:

1. 1 р.= 100 к.= 10 к.х 10 к.=1/10 р.х1/10 р.= 1/100 р.

2. Пусть а и b — любые действительные числа;

а²-2аb+b²= b²-2аЬ + а²

(а-b)²=(b-а)²

а-b=b-а

2а=2b

а=b

Вывод: «Все числа равны между собой».