1.7. Отношения следования и равносильности

Любые рассуждения не обходятся без слов «следовательно», «от­сюда вытекает», «если..., то...» и т.п. Например: «Если число делится на 4, то оно делится на 2».

Рассмотрим логическую структуру этого предложения: «Если А, то В» (или «Из А следует В»), где А - «число делится на 4», В - «число делится на 2».

Говорят, что из предложения А следует предложение В, если всякий раз, когда истинно предложение А, будет истинно и предложение В, и записывают: АВ. Предложения А и В находятся в отношении логического следования.

Рассмотрим предложение: «Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны». Это, как известно, истинное вы­сказывание. Можно утверждать и обратное: «Если углы треугольни­ка при основании равны, то он равнобедренный». Что тоже истина.

Если из предложения А следует предложение В, а из предложения В следует предложение А, то говорят, что предложения А и В равносильны, и пишут АВ.

Рассуждая, дошкольники не формулируют эти термины явно, но понимают эти отношения и используют в своих умозаключени­ях. Например:

1) Придумывая имена квадрату, дети предлагают: «Квадрат мож­но назвать четырехугольником». Это предложение можно перефор­мулировать: «Если фигура является квадратом, то она является че­тырехугольником», то есть из предложения «Фигура является квад­ратом» следует предложение «Фигура является четырехугольником».

2) Сравнивая полоски по длине способом приложения, дети рассуждают: «Если концы полосок при приложении совпадают, то полоски одинаковые по длине». «Если полоски одинаковые по дли­не, то их концы при приложении совпадут». Предложения «Полос­ки одинаковы по длине» и «Концы полосок при наложении совпа­дут» равносильны.

Задание 11

Определите, в каком отношении находятся предложения А и В: » А - «Данные углы вертикальны»; В - «Данные углы равны».

• А — «Фигура F — прямоугольник»; В — «Фигура F — квадрат».

• А - «Запись числа х оканчивается цифрой 5 или О»; В — «Число х делится на 5».

1.8. Умозаключения и их виды

Знания об окружающем нас мире мы получаем не только путем наблюдений, но и посредством рассуждений. Не только в математи­ке, но и в жизни важно научиться рассуждать правильно, то есть ло­гично, а значит, по правилам логики. В логике вместо слова «рассуж­дение» используют термин «умозаключение».

Умозаключение - это способ получения нового знания на осно­ве некоторых имеющихся. Умозаключение состоит из посылок и за­ключения.

Посылки - это высказывания, содержащие исходные знания.

Заключение - это высказывание, содержащее новое знание, по­лученное из исходных.

Задание 12

Ответьте на вопросы и проведите рассуждения, выявив посылки и заключение:

• какой день недели будет завтра?

• какие из чисел: 576, 80, 401, 3200 не делятся на 10?

• любой ли квадрат можно назвать ромбом?

Умозаключения бывают разные, одни приводят к истине, другие могут быть ошибочными. В логике выделяют дедуктивные умозак­лючения (всегда истинные при истинных посылках) и недедуктив­ные (которые не всегда приводят к истинным выводам и требуют доказательства или опровержения).

Дедуктивное умозаключение - умозаключение, в котором посыл­ки и заключение находятся в отношении логического следования.

Если А₁, А₂ , … , А_n — посылки, В - заключение, то схема дедуктивного умозаключения:

А₁, А₂, …, А_n => В

В дедуктивном умозаключении из истинных посылок всегда следует истинное заключение. Правильно строить дедуктивные умо­заключения, анализировать их помогают правила логики.

Правило заключения:

А(х)=>В(х) и А (а) =>В(а)

Утверждение А(х)=>В(х) называют общей посылкой, А(а) - частной посылкой, В(а) — заключением.

Например, по этому правилу выполнено умозаключение: «Если число х называют при счете раньше числа у, то х<у. Число 7 называ­ют при счете раньше числа 8. Следовательно, 7<8». В данном рас­суждении можно выявить все составляющие части правила заключе­ния, что отражено в рисунке 19.

Общая посылка: А(х)=>В(х)	Если число х называют при счете рань­ше числа у, то х<у.
Частная посылка: А(а)	Число 7 называют при счете раньше чис­ла 8.
Заключение: В(а)	7<8.

Рис. 19

Общая посылка: А(х)=>В(х)	Если можно образовать пары (чашка — блюдце), то предметов — поровну.
Частная посылка: А(а)	На каждом блюдце стоит чашка, все блюдца заняты, и нет чашек без блюдца, т.е. из чашек и блюдец можно образовать пары.
Заключение: В(а)	Чашек и блюдец поровну.

Рис. 20

Приведем пример использования этого правила в работе с детьми дошкольного возраста.

Имеется одинаковое число чашек и блюдец. Задание ребенку: «Покажи, что чашек столько же, сколько блюдец». Рассуждения ребенка: «Поставим на каждое блюдце чашку».

В процессе предметно-практической деятельности ребенка и сопровождающих ее рассуждений можно выявить те же компоненты правила заключения (рис. 20).

Правило отрицания:

(А(х)=>В(х) и Не В(а)) => Не А(а)

Приведем пример умозаключения по этому правилу: «Число 17 не делится на 5, так как оно не оканчивается цифрами 5 или 0 (при­знак делимости на 5)». Разбор этого рассуждения проведен на ри­сунке 21.

Общая посылка: А(х)=>В(х)	Если число делится на 5, то запись числа оканчивается цифрой 5 или 0.
Частная посылка: Не В(а)	Запись числа 17 не оканчивается цифрой 5 или 0.
Заключение: Не А(а)	Число 17 не делится на 5.

Рис. 21

Рассмотрим пример использования правила отрицания в работе с дошкольниками.

Имеется несколько чашек и блюдец. Задание ребенку: «Устано­ви, поровну ли чашек и блюдец». Рассуждения ребенка: «На одном блюдце нет чашки, значит, блюдец больше, чем чашек». На рисунке 22 выявлены все компоненты данного умозаключения.

Общая посылка: А(х) =>В(х)	Если предметов поровну, то можно образовать пары (чашка - блюдце).
Частная посылка: Не В(а)	Для одного блюдца нет пары.
Заключение: Не А(а)	Блюдец и чашек не поровну.

Рис. 22

Правило силлогизма:

(А(х)=>В(х) и В(х) =>С(х)) => (А(х)=>С(х))

Примеры.

1. «Если число натуральное, то оно положительное. Все поло­жительные числа больше нуля. Следовательно, все натуральные числа больше нуля». Здесь хорошо прослеживаются связи между предложениями в соответствии с правилом силлогизма (рис. 23).

А(х) =>В(х)	Если число натуральное, то оно положительное.
В(х)=>С(х)	Если число положительное, то оно больше нуля.
А(х)=>С(х)	Если число положительное, то оно больше нуля.

Рис. 23

2. Многие предложения часто не произносят вслух, но подразумевают их наличие. Так, говоря, что отрезки можно измерять, имеют в виду умозаключение: «Все отрезки имеют длину. Длину можно измерить. Следовательно, все отрезки можно измерить». Выявив все составляющие нашего рассуждения, убеждаемся в его правильности (рис. 24).

А(х) =>В(х)	Если фигуры - отрезки, то у них есть длина.
В(х)=>С(х)	Если есть длина, то ее можно измерить.
А(х) =>С(х)	Если фигуры — отрезки, то их можно измерить.

Рис. 24

Задание 13

Постройте по данным правилам дедуктивные умозаключения, до­казывающие справедливость предложений:

• «741 делится на 3»;

• «Используя только цвета спектра, нельзя обозначить по-разному месяцы года»;

• «У прямоугольного листа бумаги есть стороны и углы».

К недедуктивным умозаключениям относятся рассуждения по аналогии, выводы, сделанные на основании неполной индукции и др.

Умозаключения по аналогии — умозаключения, в которых знания с изученного объекта переносятся на другой, менее изученный, но сходный по существенным свойствам с первым.

П римеры.

1. «У четырехугольника 4 угла и 4 стороны, следовательно, у пя­тиугольника 5 углов и 5 сторон» — истинное умозаключение.

2. «Если треугольник разделить пополам, получится два треугольника, следовательно, если квадрат разделить пополам, получится два квадрата» — ложное умозаключение (рис. 25).

Выводы, полученные по аналогии, могут быть истинными или ложными, их надо доказывать дедуктивным способом или оп­ровергать с помощью контрпримера. Аналогия важна тем, что наво­дит на догадки, способствует развитию математической интуиции.

Неполная индукция — это умозаключение, при котором на ос­новании того, что некоторые объекты совокупности обладают оп­ределенным свойством, делается вывод, что этим свойством облада­ют все объекты этой совокупности.

Примеры.

1) Известно, что 15 делится на 5, 25 делится на 5, 35 делится на 5. Следовательно, можно утверждать, что любое число, запись которого оканчивается цифрой 5, делится на 5.

В данном случае заключение истинно, так как нам известен признак делимости на 5.

2) Нетрудно убедиться в истинности следующих высказываний:

3+2 < 3 • 2 (А₁),

4+3 < 4 • 3 (А₂),

7+5 < 7 • 5 (А₃).

На их основе можно сделать вывод (В): сумма двух любых нату­ральных чисел всегда меньше их произведения.

Это заключение ложное. Чтобы в этом убедиться, достаточно привести контрпример: числа 3 и 1 — натуральные, 3+1=4, 3•1=3, 4 не меньше 3, то есть нашлись два натуральных числа, сумма кото­рых не меньше их произведения.

Из приведенных примеров видно, что неполная индукция мо­жет привести как к истинным, так и к ложным выводам, которые носят характер предположения, гипотезы, их нужно доказывать де­дуктивным способом или опровергать контрпримером.

Велика роль неполной индукции как способа получения общего знания, как способ открытия закономерностей, правил. Исполь­зование неполной индукции в обучении способствует развитию умений сравнивать, обобщать, делать выводы.

Приведем пример использования неполной индукции в работе с дошкольниками: используя игру «Чудесный мешочек» с объемными геометрическими фигурами, даем задание ребенку: «Достань фигуру и назови». После нескольких попыток ребенок делает предположе­ние:

— Шар. Шар. Шар. Здесь, наверное, все шары.

Задание 14

Предложите дальнейшие рассуждения для того, чтобы убедиться в истинности (или ложности) полученного утверждения.