1.6. Высказывания с кванторами

Высказывательные формы можно обратить в высказывание, не только подставив значения переменных. Иногда используют другие способы.

Задание 9

Запишите натуральные числа от 1 до 9. Определите значение ис­тинности предложений:

«Числа однозначные»; «Числа отрицательные»;

«Числа четные».

Нельзя ответить на вопрос, истинны или ложны эти предложе­ния, так как они являются высказывательными формами. Для обра­щения их в высказывания необходимо уточнение, о каких числах идет речь. Для этого можно, например, в начале данных предложе­ний поставить слова «все» или «некоторые».

Слова, которые превращают высказывательную форму в выска­зывание, называются кванторами. Кванторы бывают двух видов: кванторы общности («все», «любой», «всякий», «каждый») и кванто­ры существования («некоторые», «существуют», «имеются», «найдет­ся», «есть», «хотя бы один»).

При изменении вида квантора значение истинности высказыва­ния может поменяться, а может сохраниться. Например, для чисел из задания 9 предложения: «Все числа однозначные», «Имеются од­нозначные числа», «Некоторые из данных чисел четные» — истин­ные высказывания; а предложения: «Некоторые числа отрицатель­ные», «Все числа отрицательные», «Все числа четные» — ложные высказывания.

Обычно мы определяем значение истинности интуитивно вер­но. При затруднении, чтобы установить значение истинности вы­сказываний с кванторами, надо знать некоторые правила.

Истинность высказываний с квантором общности устанавлива­ется путем доказательства. Чтобы убедиться в ложности, доста­точно привести контрпример.

Истинность высказываний с квантором существования устанав­ливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в его ложности, необходимо провести доказательство.

Например, рассмотрим предложения для чисел из задания 9:

«Все числа однозначные» — истинное высказывание, так как, проверив каждое число (способ доказательства — полная индукция), мы убеждаемся в справедливости высказывания.

«Все числа четные» - ложное высказывание, так как, например, число 5 не является отрицательным (контрпример).

«Некоторые из данных чисел четные» — истинное высказыва­ние, так как, например, число 4 — четное (пример).

«Некоторые числа отрицательные» — ложное высказывание, так как, проверив каждое число (способ доказательства — полная ин­дукция), можно в этом убедиться.

В предложенных примерах использовался такой способ доказа­тельства, как полная индукция (рассматривался каждый частный слу­чай), возможны и другие способы доказательств (см. п. 1.9).

Часто в математических предложениях кванторы общности опускаются, но подразумеваются. Например, в предложении «Сум­ма углов треугольника равна 180°» квантор общности явно не зву­чит, но подразумевается: «Сумма углов любого треугольника равна 180°».

Задание 10

Установите значение истинности данных предложений. Свои отве­ты обоснуйте:

• «Любой прямоугольник является квадратом».

• «У всех выпуклых четырехугольников сумма углов рана 360°».

• «Существуют треугольники, у которых все углы тупые».

• «Существуют равносторонние треугольники».

Уже в дошкольном возрасте детей учат правильно рассуждать. Например.

1) Предложив ребенку вопрос: «Как можно назвать все эти фи­гуры?» (рис. 16), мы учим использовать квантор общности.

Можно проследить изменение рассуждений в зависимости от ответа, предварительно четко сформулировав математическое пред­ложение и выделив квантор (рис. 17).

Вариант ответа ребенка	Высказывание с квантором	Установление значения истинности
«Многоуголь­ники»	«Все фигуры яв­ляются многоуго­льниками»	«Правильно (истина), так как квадрат - многоугольник, парал­лелограмм - многоугольник, прямоугольник — многоуголь­ник, треугольник — многоуголь­ник, трапеция — многоугольник» (истина установлена с помощью доказательства, использована полная индукция).
«Четырехуго­льники»	«Все фигуры яв­ляются четырех­угольниками»	«Неправильно (ложь), так как треугольник не является четы­рехугольником» (ложь установле­на с помощью контрпримера).

Рис. 17

Вариант ответа	Установление значения истинности
«Да»	Показ хотя бы одного мяча (истина установлена пу­тем приведения примера).
«Нет»	Просмотр каждой игрушки (ложь установлена с по­мощью доказательства, использована полная индук­ция).

Рис. 18

2) Предложив малышам заглянуть в коробку и ответить на вопрос «Есть ли в коробке мячи?», мы учим детей использовать квантор существования.

Имея математическое предложение: «Хотя бы один из предметов - мяч», рассуждаем в соответствии с правилами логики (рис. 18).