II.Задание к контрольной работе по дискретной математике

I. Множества и операции над ними.

1. Для заданных множеств А, В и С найти:

B \ C, C \ B, (А \ В) \ С, А \ (В \ С), А  B, А  С, B  C, A  B  C. Изобразить на плоскости Найти считая универсальным множеством множество ℝ – всех вещественных чисел (всю числовую ось).

2. Для заданного семейства множеств где Г – заданное индексное множество, найти объединение и пересечение всех множеств семейства, т.е. и (по всем возможным индексам ).

3. Докажите тождество, используя диаграммы Эйлера – Венна.

II. Отношения. Функции. Отношения эквивалентности и упорядоченности.

1. Даны множества и два бинарных отношения: и . Изобразите Р_1, Р₂ графически. Найдите Р₁^-1, Р₂^-1, Определите, является ли отношение Р₂ рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным.

2. Найдите область определения и область значений отношения Р. Является ли отношение Р рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным?

3. Даны отображения (числовые функции) ƒ, g: ℝ→ℝ. Найти композицию ƒ ◦ g, g ◦ ƒ, обратные отображения: ƒ^–1, g^-1, (ƒ ◦ g)^-1, (g ◦ ƒ)^-1. Для заданных множеств A, B  ℝ найти f(A), g(A), ƒ ^–1(B), g^-1(B). Найти неподвижные точки отображений.

III. Функции и формулы алгебры логики. Эквивалентность формул.

1. Составьте полную и сокращенную таблицы истинности формул.

2. Проверьте двумя способами, будут ли эквивалентны следующие формулы: а) составлением таблиц истинности; б) с помощью эквивалентных преобразований.

III.Варианты контрольных работ Вариант №1

I.1. А = [-3; 0] – отрезок числовой оси

В = (-1; 3] – полуинтервал на числовой оси

С = (-0.5; 4) – интервал на числовой оси

2. , где N - множество всех натуральных чисел и

3.

II.1. Р₁ = {(а, 2); (а, 3); (а, 4); (b, 3); (с, 1); (с, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (2, 3); (2, 2); (3, 4); (1, 4); (2, 4); (4, 2)}

2. P  ℝ² и Р = {(x, y) : x · y > 1, где x, y ℝ}

3. f(x) = –(x + 1)²; g(x) = –x –2; А = [–1.5; 1]; В = [–2; –1]

III.1.

2. x → (y ↓ z) и (x → y ) ↓ (x → z)

Вариант №2

I.1. А = (0; 10] – полуинтервал на числовой оси

В = [–1; 5] – отрезок числовой оси

С = (–10; 2) – интервал на числовой оси

2. , где N - множество всех натуральных чисел и

3. (А \ В) (В \ С) (В \ А) (С \ В) = А С

II.1. Р₁ = {(b, 2); (а, 3); (b, 1); (b, 4); (с, 1); (с, 2); (с, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4); (3, 3); (3, 2); (3, 4); (4, 4)}

2. P  ℝ² и Р = {(x, y) : x² + y² = 1, где x, y ℝ}

3. f(x) = (x + 1)² – 1; g(x) = x + 1; А = [–1.5; 1]; В = [0; 1]

III.1.

2. x → (y ≡ z) и (x → y ) ≡ (x → z)

Вариант №3

I.1. А = {0, 1, 2, 3}– четырехэлементное множество

В = [–5; 3] – отрезок числовой оси

С = (0; 2) – интервал на числовой оси

2. , где ℕ - множество всех натуральных чисел и

3. (А \ В) (В \ С) (С \ А) = (В \ А) (С \ В) (А \ С)

II.1. Р₁ = {(а, 3); (а, 2); (а, 4); (b 1); (с, 2); (с, 4); (с, 3)}

Р₂ = {(1, 1); (2, 2); (2, 1); (3, 3); (4, 4); (4, 3); (1, 4); (2, 4); (3, 2); (3, 4)}

2. P  ℝ² и Р = {(x, y) : y = |x|, где x, y ℝ}

3. f(x) = (x + 1)² + 1; g(x) = x + 3; А = [–1.5; 1]; В = [2; 3]

III.1.

2. x ≡ (y | z) и (x ≡ y) | (x ≡ z)