Вопросы для самопроверки

1. Что выражают контурные уравнения?

2. На какие подматрицы разделяются матрицы параметров электрической сети, параметров режима и матрицы инциденций?

3. В чем суть принципа наложения, применяемого при записи токов в дереве сети?

4. Как определить (записать) алгебраическую сумму падений напряжений по ветвям дерева сети?

5. Каковы свойства канонической системы независимых контуров?

6. Изложите порядок расчета режима по методу контурных уравнений при задании нагрузок в токах.

7. Объясните, как меняется порядок расчета режима по методу контурных уравнений при задании нагрузок в мощностях.

8. Дайте характеристику матрицы контурных сопротивлений.

9. Влияет ли выбор базисного узла на свойства матрицы контурных сопротивлений?

10. Задание. Составьте матрицу контурных сопротивлений непосредственно по схеме сети, минуя процедуру умножения (55), для самостоятельно составленной схемы с 2-3 контурами и 5-7 узлами.

0. 1.5 Запись уравнений состояния сети с помощью матриц обобщенных параметров

Обратимся к уравнениям состояния сети (54), (55) по законам Кирхгофа.

Представим обратную матрицу коэффициентов системы в виде блочной матрицы с размерностью блоков по числу узлов n и числу контуров k схемы замещения

. (60)

Тогда

_. (61)

Здесь ‑ квадратная матрица, называемая матрицей входных и взаимных проводимостей ветвей схемы. Её элементы y_ij определяют величину и фазу тока в i-ой ветви от действия ЭДС j-ой ветви и называются взаимными проводимостями ветвей, а элементы у_ii определяют величину и фазу тока в i-ой ветви от действия ЭДС Е_i этой же ветви и называются собственными или входными проводимостями ветвей.

При отсутствии ЭДС ветвей ( ), выражение (61) упрощается

, (62) откуда наглядно виден смысл матрицы С и её элементов.

C — матрица порядка , называется матрицей коэффициентов распределения задающих токов узлов по ветвям сети. Её произвольный элемент c_ij представляет собой долю тока j-го узла, протекающую по i-ой ветви

. (63)

Матрицы , и , вычисляются путем обращения матрицы с помощью разбиения на блоки, и следовательно - представляют собой линейные комбинации блоков матрицы , показанных в (53). При этом и могут быть выражены как на основе узловой модели сети

, (64)

,

где — обратная матрица собственных и взаимных узловых проводимостей,

так и на основе контурной модели

(65)

,

где — обратная матрица контурных сопротивлений.

Получение выражений (64) и (65) приведено в [2], оно громоздко и здесь не приводится.

Выражения (64), (65) показывают, что процедура нахождения матрицы достаточно громоздкая, но вычисленная один раз, эта матрица позволяет вести многократные расчёты режима по выражениям (55), (61) вручную или на ЭВМ с высоким быстродействием^. После нахождения токов ветвей остальные параметры режима рассчитываются по известным формулам.

Правильность выражений (64), (65) и результатов конкретных вычислений матрицы по этим выражениям можно проверить по выражению

_{, (66)}

Выражение (66) можно получить, если в 1-ый закон Кирхгофа подставить вектор токов ветвей из (55) , следовательно . Логика выражения (64) наглядно видна, если в выражение (62) подставить из (64)

(67)

Аналогично можно показать логику выражения для матрицы на основе контурной модели сети

(68)

Раскроем скобки в правой части

(69)

Здесь – вектор-столбец составляющих токов в дереве сети, обусловленных задающими токами при отсутствии хорд;

– вектор-столбец составляющих токов в дереве сети, вызванных замыканием хорд;

- вектор-столбец падений напряжений в ветвях дерева, вызванных составляющими токов ;

- вектор-столбец алгебраических сумм падений напряжений по ветвям дерева, входящих в контур.

, (70)

. (71)

Выражения (69) ÷ (71) иллюстрирует алгоритм варианта контурных уравнений, разработанного научной школой профессоров Киевского политехнического института В.Г. Холмского и Ю.В. Щербины в 60-70 гг. и реализованного в комплексе эффективных быстродействующих программ. Метод известен в литературе под названием метода разрезания контуров (явного разделения схемы на дерево и хорды и нахождение токораспределения по принципу наложения).