1.2.4 Получение контурной конфигурационной модели электрической сети на основе её узловой модели

После того, как для схемы (вручную или на ЭВМ с помощью машинного алгоритма) составлена блочная I–ая матрица инциденций , в которой отделены дерево и хорды схемы, процесс получения блочной II-ой матрицы соединений можно формализовать и алгоритмизировать. Покажем это.

В выражении (9) ‑ падение напряжения на ветвях, можно записать как:

или (12)

, (13)

где – вектор-столбец напряжений в узлах сети, n-го порядка; – единичный вектор-столбец n-го порядка.

Подставляя (12) в (9), получим из 2-го закона Кирхгофа

. (14)

Если произведение трех величин равно нулю, то равен нулю один из сомножителей или произведение двух других.

Поскольку , следовательно

. (15)

Формула (15) выражает общее топологическое свойство связанного направленного графа. Для дальнейшего рассмотрения и возможности каких-либо преобразований она может быть убедительно истолкована [2].

Подставим матрицы и в виде их блоков в выражение (15)

. (16)

Заметим, что и – квадратные и обратимые матрицы.

Перемножив, получим

. (17)

При формировании базисной системы независимых контуров подматрица есть единичная матрица, т.е. , и при умножении опускается. Получаем

.

Отсюда выразим подматрицу , умножая оба слагаемых на справа

, (18) а

. (19)

То есть при выделении базисной системы независимых контуров, когда , подматрицу можно получить выполнением стандартных операций над блоками первой матрицы инциденций , .

На использовании второй матрицы инциденций основан полный метод расчета и анализа электрического режима – метод контурных уравнений, который будет рассмотрен ниже.

Вопросы для самопроверки

1. Какова структура и размер второй матрицы соединений?

2. При каких условиях ‑ единичная матрица?

3. Как формулируется основное свойство связанного направленного графа?

4. Дайте характеристику и область применения второй матрицы инциденций .

5. Почему для нахождения напряжений узлов сети относительно базисного из выражений достаточно обратить матрицу ?

6. Какая связь существует между подматрицами первой и второй матриц инциденций и как она формулируется?

7. Обоснуйте достаточность информации, содержащейся в подматрицах , для формирования подматрицы .

1.2.5 Запись уравнений состояния сети по законам Кирхгофа

Уравнения состояния электрической сети по законам Кирхгофа (2) и (11) связаны общим вектором искомых неизвестных ‑ токов ветвей I и образуют систему из m уравнений с n неизвестными

или, введя составные (блочные) матрицы, получаем

(20)

Матрицы соединений , и диагональную матрицу сопротивлений ветвей можно представить в виде блоков для дерева и хорд схемы как в (3), (16):

(21) или, приняв обозначения

, ;

запишем (21) как

. (22)

Здесь – квадратная составная матрица коэффициентов системы уравнений состояний сети по законам Кирхгофа порядка m, содержит информацию об узловой и контурной моделях конфигурации сети в виде матриц и и о параметрах сети Z_α , Z_;

– вектор-столбец правых частей системы уравнений – содержит ‑ задающие токи узлов и ‑ ЭДС ветвей ‑ независимые заданные характеристики режима; – вектор-столбец неизвестных системы уравнений ‑ токи ветвей схемы ‑ искомые характеристики режима.

Уравнения (21), (22) решаются относительно токов ветвей .

(23)

По найденному токораспределению и известному напряжению в балансирующем узле могут быть найдены падения напряжения на ветвях и напряжения остальных узлов сети , . Таким образом, задача расчета режима в линейной постановке удовлетворительно решается по уравнениям Кирхгофа, однако для промышленных программ этот подход не применяется, так как порядок системы уравнений (22) и обращаемой матрицы A велик – равен числу ветвей схемы m. Для разработки промышленных программ расчета режимов применяются методы, приводящие к системам уравнений состояния с матрицами меньшей размерности – узловые методы или контурные методы расчета установившихся режимов электрических систем.