1.2.2 Первая матрица инциденций «узлы-ветви» и ее применение для записи 1-го закона Кирхгофа

Для составления первой матрицы инциденций M_nxm заготавливается таблица, состоящая из n строк (по числу узлов) и m столбцов (по числу ветвей), где m = n + k. Строки ее соответствуют узлам, а столбцы ‑ ветвям схемы замещения.

Номер строки матрицы соответствует номеру рассматриваемого узла i. Номер столбца j соответствует номеру рассматриваемой ветви в объединенном массиве информации о ветвях. Элемент m_i,j матрицы, принадлежащий i-й строке и j-ому столбцу, может принимать одно из трех значений: +1, -1, или 0:

m_i,j = 1- если узел i является начальной вершиной ветви j (ветвь j “оттекает” от узла i);

m_i,j = ‑1- если узел i является конечной вершиной ветви j (ветвь j “подтекает” к узлу i);

m_i,j = 0 - если узел i не является вершиной ветви j, т.е. не связан с этой ветвью.

Правило знаков о направлениях для подтекающих и оттекающих ветвей можно принять любое, но одно для решаемой задачи. Мы придерживаемся вышеприведенного, принятого в [1].

На рис. 4 показан направленный граф, соответствующий схеме замещения двухконтурной электрической сети. Приведем пример составления матрицы М для этой уже пронумерованной с учетом принципа ярусности схемы.

Рис. 4

Составим таблицу из 4 строк и 5. Пронумеруем ее строки и столбцы соответственно номерам узлов и номерам ветвей схемы; отделим подматрицы, для дерева и хорд.

Таблица 1. Первая матрица инциденций

	Mα			M
Ветви Узлы	1	2	3	4	5
1	-1	0	+1	+1	0
2	0	-1	0	-1	+1
3	0	0	-1	0	-1
БУ	1	1	0	0	0

Поясним заполнение первой строки матрицы M для 1-го узла.

Подматрица M_: 1-ый узел дерева является конечной вершиной ветви 1 ‑ ; ветвь 2 не связана с узлом 1 - ; узел 1 является начальной вершиной ветви 3 - .

Подматрица M_. Узел 1 является начальной вершиной хорды IV - , хорда V не связана с узлом 1 - .

Остальные строки заполняются аналогично.

Каждая i-я строка матрицы показывает, какие ветви j, где j = 1, 2,…,m, связаны с данным узлом i и как они направлены. Если ввести в рассмотрение вектор-столбец токов ветвей , где , то произведение i-й строки матрицы на вектор-столбец токов ветвей , полученное по правилам действий с матрицами, даст алгебраическую сумму токов, сходящихся по ветвям в i-том узле, и эта сумма должна быть равна задающему току в узле , т.е. получаем выражение 1-го закона Кирхгофа для соответствующего узла i

(1)

Если такое умножение выполнить для всех строк матрицы , то получим запись 1-го закона Кирхгофа для схемы в целом:

, (2)

где – вектор-столбец задающих токов в n независимых узлах (БУ не является независимым узлом).

1-я матрица инциденций , дополненная строкой инцидентности для балансирующего узла M_{n+1, j}, где j = 1,…,m, обозначается как . Каждый j-ый столбец матрицы содержит обязательно +1 и -1 и указывает, какие узлы ограничивают данную j-ую ветвь. Сумма элементов любого j-го столбца матрицы равна нулю.

Знаки для элементов векторов-столбцов токов ветвей и токов узлов , входящих в состав выражения (1), (2), принимаются, как и для элементов матрицы . Следовательно, токи нагрузок, стоящие в векторе , оттекают от узлов и имеют знак “+”, токи генераторов подтекают к узлам и имеют знак “-“

При принятой раздельной нумерации ветвей дерева и хорд, описанной в 1.2.1, матрица формируется как блочная с блоком размерностью (n x n) ‑ для дерева сети, и блоком размерностью (n x k) – для хорд. Соответственно вектора параметров ветвей и параметров режима ветвей будут содержать составляющие для дерева сети с индексом α (Z_α, I_α, S_α), и для хорд с индексом β (Z_, I_, S_)

. (3)

С учетом блочной структуры матриц выражение 1-го закона Кирхгофа (2) примет вид:

. (4)

Выполнив умножение, получим:

. (5)

Для схемы типа дерева – разомкнутой сети, контура и хорды отсутствуют, , . Тогда выражение (5) примет вид

(6)

Подматрица квадратная, невырожденная, сумма ее строк не обращается в ноль, поскольку для БУ строка отсутствует. Следовательно, уравнение (6) может быть решено относительно токов в ветвях дерева :

. (7)

Обратную матрицу можно находить прямым обращением матрицы для дерева сети [Приложение 1], но можно определить путем элементарных преобразований матрицы . К элементарным преобразованиям относятся:

• перестановка строк;

• умножение всех элементов строк на число не равное нулю;

• прибавление к строке другой строки, умноженной на некоторое число.

Схематически процесс нахождения обратной матрицы можно изобразить так:

 элементарные преобразования  ,

где – единичная матрица.

Здесь матрица – обратная для матрицы ( ) – представляет собой матрицу коэффициентов токораспределения для дерева сети; согласно (7) ее элемент С_{р ij} показывает, какая доля от тока j-го узла J_j будет протекать по i-ой ветви дерева схемы.

В частном случае разомкнутой сети типа дерева по уравнению (7), с помощью матрицы при известных задающих токах узлов может быть найдено токораспределение в ветвях – матрица :

(8)

В разомкнутом режиме по схемам типа дерева работает целый класс электрических сетей – распределительные сети с номинальными напряжениями 0,4 кВ, 6-10 кВ, 35 кВ, частично 110 кВ, которые выполнены (сооружены) как замкнутые сети с резервированием, но работают в разомкнутом режиме. Поэтому быстрые и эффективные способы решения на ЭВМ задачи (7), (8) практически актуальны, и были разработаны и программно реализованы в 70-х годах в работах кафедр «Электрические сети и системы» Киевского политехнического института, Белорусского политехнического института и явились основой программных комплексов анализа и оптимизации режимов разомкнутых сетей, поиск оптимальных мест размыкания городской кабельной сети по критерию минимума потерь мощности и энергии и пр.