Расчет режима электрической сети методом Ньютона

Итерационный процесс будет базироваться на уравнении:

, (34)

где - матрицу узловых проводимостей без учета балансирующего узла, - вектор-столбец падений напряжений, относительно балансирующего, - вектор-столбец задающих токов (токи содержат при себе свой знак).

Распишем как разность напряжений в узлах и напряжения в балансирующем узле :

. (35)

Выразим через задающую мощность в узлах и напряжения в узлах схемы:

(36)

Подставив уравнения (36) и (35) в уравнение (34) получаем:

(37)

Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, запишем выражение для i-того узла схемы в общем виде:

(38)

где j- количество узлов в схеме, i- номер узла в сети.

Составим вектор-функцию небаланса токов в узлах сети W(U)=0:

(39)

Проводимость между i-ым узлом и балансирующим можно найти по формуле:

(40)

где n- количество узлов в схеме.

Или при вычислении через матрицу в начале расчета.

Составим матрицу Якоби, взяв частные производные по dUj от каждой i-той строчки системы (39) :

(41)

Тогда итерационная формула запишется в виде:

, (42)

где

. (43)

Точность проверяется следующим образом:

(44)

Зададимся начальным приближением напряжений в узлах и рассчитаем приводимости :

Рассчитаем первую итерацию, по результатам которой получим вектор-функцию небаланса токов в узлах в первом приближении W1:

Теперь берем частные производные :

Находим напряжения в первом приближении по формуле :

Аналогично рассчитаем вторую итерацию, по результатам которой получим вектор-функцию небаланса токов в узлах во втором приближении W2:

Снова берем частные производные и получаем обратную матрицу:

Найдем напряжения уже второго приближения согласно формуле :

Как и ожидалось, метод Ньютона дал одну из самых быстрых сходимостей итерационного процесса. Можно смело утверждать, что его основное преимущество — быстрая сходимость, однако он более трудоёмок на каждой итерации.

Произведем построение графика сходимости итераций U=f(I), где I – номер итерации:

Рисунок 4

На основе проведенного итерационного процесса, производим расчет режима нашей сети.

Падение напряжения в узлах относительно балансирующего:

Определяем токи в ветвях схемы:

Определяем падения напряжения в ветвях схемы:

Определяем потоки мощности в ветвях схемы:

Определим потери мощности в ветвях сети:

Определяем суммарные потери мощности в ветвях:

Определим токи в узлах схемы:

Определим мощности в узлах сети:

Рассчитаем небаланс мощности. Как уже говорилось ранее, он не должен превышать 1%.

Как видно, небаланс мощности менее 1%. Это свидетельствует о том, что заданная точность итерационного процесса нас полностью удовлетворяет.

Расчет утяжеленного режима с применением матриц обобщенных параметров электрической сети

Рассчитаем матрицу коэффициентов распределения C:

Утяжелим режим работы электрической сети с целью нахождения предела сходимости. Для этого увеличим все задающие мощности, а так же уменьшим на 5% напряжение в балансирующем узле.

На печать выведем только режим, являющийся критическим для данной сети.

По результатам расчетов нескольких коэффициентов увеличения мощности, оказалось, что при увеличении нагрузки в 2.8 раза, итерационный процесс перестал сходиться. Это свидетельствует о том, электрическая сеть не может выдержать такой нагрузки. Уменьшим значения задающих мощностей при коэффициенте 2.8 на 20%. Это и будет предельным допустимым режимом для данной сети. А предельный режим по сходимости имеет место при нагрузках:

Рассчитаем задающие токи в ветвях:

Токи в ветвях в первом приближении:

Рассчитываем падения напряжения в ветвях сети, в узлах сети, а также задающие мощности в узлах сети:

Точность расчета равна:

Рассчитываем токи в узлах и токи в ветвях во втором приближении:

Рассчитываем падения напряжения в ветвях сети, напряжения в узлах сети и задающие мощности:

Точность расчета равна:

Находим токи в ветвях в третьем приближении:

Рассчитываем падения напряжения в ветвях сети, напряжения в узлах сети:

Рассчитываем мощности в узлах сети:

Точность расчета равна: