Расчет режима электрической сети по линейным узловым уравнениям с использованием метода Гаусса

Узловые уравнения в матричной форме записываются в виде:

Матрица узловых проводимостей:

Вектор столбец задающих токов:

Вектор-столбец падений напряжения в узлах сети относительно балансирующего узла найдем методом исключения неизвестных Гаусса (приведение матрицы к треугольному виду)

Расширим матрицу узловых проводимостей столбцом задающих токов

Транспонируем матрицу для упрощения дальнейших преобразований – приведение матрицы к треугольному виду

Для получения нулевых элементов в первой строке кроме диагонального, умножим первый столбец на некоторый коэффициент , который будет равен отношению , а затем из этого столбца вычтем второй столбец. Полученный столбец запишем на место второго столбца матрицы . Аналогичную операцию проделаем с третьи и четвертым столбцами:

Находим коэффициент

Первый столбец оставим без изменений:

Вычтем второй столбец из первого столбца, умноженного на коэффициент

Вычтем третий столбец из первого столбца, умноженного на коэффициент

Вычтем четвертый столбец из первого столбца, умноженного на коэффициент

Пятый и шестой столбцы оставим без изменений:

В результате этих операций получим матрицу

Теперь получим нулевые элементы правее диагонального во второй строке:

Первые два столбца оставим без изменений
Найдем коэффициент для третьего и четвертого столбцов

Вычтем третий столбец из второго столбца, умноженного на коэффициент

Вычтем четвертый столбец из второго столбца, умноженного на коэффициент

Найдем коэффициент для пятого столбца и вычтем пятый столбец из второго столбца, умноженного на коэффициент . Шестой столбец оставим без изменений

,

В результате получим матрицу

Путем дальнейших преобразований получим треугольную матрицу:

Транспонируем матрицу :

Вычисляем матрицу падений напряжения в узлах относительно балансирующего узла:

Дальнейший расчет режима производим аналогично предыдущим пунктам.

Расчет режима электрической сети по узловым уравнениям в форме баланса токов при их решении методом ускоренной итерации

Организуем итерационный процесс на базе матричного уравнения:

, (20)

где - матрица узловых проводимостей без учета балансирующего узла, - вектор-столбец падений напряжений, относительно балансирующего, - вектор-столбец задающих токов (содержащих свой знак).

Правую часть уравнения (20) представим в виде:

, (21)

где - задающая мощность в i-том узле, - напряжение в балансирующем узле, - падение напряжения в i-том узле при k-том приближении.

Приравняем левую часть уравнения (20) и правую часть уравнения (21):

. (22)

На основе уравнения (22) составим систему уравнений, применительно к нашей сети, представив левую часть в алгебраической форме, а правую оставив без изменения:

(23)

Уравнения системы разрешим относительно диагональных неизвестных . Для этого необходимо перенести все элементы каждого уравнения вправо, оставив слева лишь произведение, содержащее , где i – номер уравнения в системе. Затем разделим обе части уравнения на (диагональные элементы в матрице узловых проводимостей не могут равняться нулю, следовательно, такое деление возможно), стоящий при , где i –номер уравнения в системе.

(24)

Для итерационного процесса необходимо выбрать начальное приближение падений напряжений и подставить в правую часть данной системы. Получим , затем подставим его в правую часть, получим и т.д. Процесс может вестись по методу простой или ускоренной итерации.

Мы будем вести итерационный процесс по методу ускоренной итерации, т.е. для нахождения k-ой переменной в i-ой итерации используются переменные , … , вычисленные на этой же i-ой итерации и переменные k+1, k+2,…,n, вычисленные на предыдущей (i-1)-ой итерации.

Зададимся необходимой точностью расчета ε= U_i+1 - U_i <= 0,04 кВ, где i- номер итерации.

Первая итерация:

Принимая во внимание однотипность формул итерационного процесса, сами вычисления последующих итераций отображать не будем, а только рассчитанные значения.

Вторая итерация:

Третья итерация:

Четвертая итерация:

Пятая итерация:

Шестая итерация:

Произведем построение графика сходимости итераций U=f(I), где I – номер итерации:

Рисунок 2

На основе проведенного итерационного процесса, производим расчет режима нашей сети.

Падение напряжения в узлах относительно балансирующего:

Определяем токи в ветвях схемы:

Определяем падения напряжения в ветвях схемы:

Определяем потоки мощности в ветвях схемы:

Определим потери мощности в ветвях сети:

Определяем суммарные потери мощности в ветвях:

Определим токи в узлах схемы:

Определим мощности в узлах сети:

Рассчитаем небаланс мощности. Как уже говорилось ранее, он не должен превышать 1%.

Как видно, небаланс мощности менее 1%. Это свидетельствует о том, что заданная точность итерационного процесса нас полностью удовлетворяет.