2.5 Решение уравнений узловых напряжений итерационными методами

2.5.1 Решение уравнений узловых напряжений в форме баланса токов

Матричное уравнение:

; где .

Представим в алгебраической форме и разрешим каждое уравнение системы относительно диагональных элементов ( ):

(123)

Для итерационного решения необходимо выбрать начальное приближение падений напряжений и подставить в правую часть системы (123). Получим , затем подставим его в правую часть, получим и т.д. Процесс может вестись по методу простой или ускоренной итерации.

По методу ускоренной итерации для нахождения k-го переменного в i-ой итерации используются переменные , … , вычисленные на этой же i-ой итерации и переменные k+1, k+2,…,n , вычисленные на предыдущей (i-1)-ой итерации.

(124)

Аналогично организуется итерационный процесс расчета напряжений узлов Uу на базе уравнений (108), записанных для напряжений узлов.

Решение нелинейных узловых уравнений можно записать, используя обратную матрицу Y^-1.

(125)

Используя эти уравнения, получим:

(126)

Выражение (126) имеет большое прикладное значение в области расчетов установившихся режимов. Оно называется обращенной формой уравнений узловых напряжений (поскольку используется обратная матрица ) и представляет собой самостоятельный метод расчета режимов.

2.5.2 Обращенная форма уравнений узловых напряжений и их анализ

Обратную матрицу в выражениях (125), (126) обозначают через и называют матрицей собственных и взаимных сопротивлений

Тогда:

, или (127)

(128)

или в общем виде:

, (129)

Чтобы использовать схему расчета (126),(128) и (129), надо предварительно обратить матрицу узловых проводимостей. После этого процесс получения решения (нахождение U₁, U₂, …U_n) происходит гораздо быстрее, чем итерационное решение системы исходных нелинейных уравнений (15).(Этот факт может иметь и физическое толкование).

Алгоритм итерационного решения нелинейных обращенных уравнений следующий:

Задаемся начальными приближениями напряжений U_i⁰, например U_i=U_ном, и подставляем их в знаменатель в правую часть (128). Выполняем необходимые вычисления согласно (128), в результате находим вектор первого приближения (здесь Z, U и S в общем случае имеют комплексный характер). Во втором приближении в знаменатель (128) подставляются значения напряжений U_i⁽¹⁾ первой итерации, находится U_i⁽²⁾ после чего выполняется третья итерация и т.д. Итерационный процесс заканчивается, когда разность напряжений между двумя соседними приближениями становится меньше заданной точности расчета.

(130)

Итерационный процесс определения напряжений по обращенным уравнениям может быть ускорен, если на k-той итерации для расчета i-того неизвестного принимать из этой же k-той итерации, а остальные неизвестные брать из (k-1) итерации, т.е.

(131)

Физический смысл элементов матрицы собственных и взаимных сопротивлений Z можно уяснить, если рассмотреть частные режимы работы сети, в которых нагрузки узлов от 1-ого до n-ого последовательно задаются единичными токами при холостом ходе в остальных узлах сети ( ).

Систему уравнений (129) можно представить в виде:

(132)

Из выражения (132) следует, что элементы матрицы узловых сопротивлений Z_ij представляют собой коэффициенты частичных падений напряжения, или коэффициенты влияния тока нагрузки в j-том узле на напряжение в i-том узле.

Действительно, если взять сложную схему сети, представляющую собой связанный направленный граф, т.е. одно дерево со своими хордами, то очевидно, что в этой схеме ток нагрузки каждого узла влияет на напряжение во всех узлах. Естественно, что матрица узловых проводимостей Y и обратная к ней зависят только от пассивных параметров сети, т.е. от топологии схемы и сопротивлений или проводимостей ветвей. Эта матрица остается неизменной при изменении нагрузок в узлах.

В первом частном режиме:

Тогда:

(133)

Рассчитав такой режим по любой программе расчета установившихся режимов, можно сразу получить весь столбец матрицы Z_i1 (1-й столбец - при I₁=1, 2-й столбец Z_i2 – при расчете второго частного режима при I₂ = 1 и т.д.). Т.е. получается, что элементы матрицы узловых сопротивлений можно найти с помощью программ расчета установившихся режимов по результатам расчетов на ЭВМ n-частных режимов с единичными токами в узлах поочередно.

Процедура нахождения путем прямого обращения Y или вышеописанным путем громоздкая, но вычисленная один раз, матрица обеспечивает быстродействие расчетов режимов и поэтому ее применение эффективно в задачах, где надо считать много режимов одной сети с различными нагрузками (задачи оптимизации режима и т.п.).

После того, как напряжения в узлах сети найдены, остальные параметры режима рассчитываются безитерационным путем (см. выше).