2.4.4 Критерии сходимости и анализ сходимости нелинейных систем узловых уравнений установившихся режимов

Нелинейные уравнения баланса токов в узлах

(114)

могут быть представлены в виде неявной вектор-функции небаланса F(U), которая обращается в 0 при подстановке в левую часть точного решения системы – вектора напряжений узлов U.

В общем виде эти уравнения запишутся в виде:

(115)

Обобщенная математическая запись системы нелинейных уравнений

, (116)

где

(117)

Нелинейная система (116) готовится к итерации в виде рекуррентного соотношения.

(118) где  ‑ оператор рекуррентного соотношения (или оператор нелинейного отображения).

Критерии сходимости при решении системы нелинейных уравнений записываются для матрицы, составленной из частных производных от оператора нелинейных отображений  по искомым переменным . Эта матрица состоит из элементов и называется матрицей Якоби:

(119)

Матрица частных производных J для случая линейных систем уравнений соответствует матрице  системы, подготовленной к итерации (108). Поэтому критерии сходимости сформулированы аналогично теореме сходимости итераций для линейных систем уравнений: также можно использовать достаточные условия (по норме матрицы Якоби) и необходимые и достаточные условия (по наибольшим собственным значениям матрицы Якоби ).

Теорема: для сходимости итерационного процесса решения нелинейной системы с помощью рекуррентного соотношения необходимо и достаточно, чтобы на всей траектории итерационного процесса от начального приближения X⁽⁰⁾ до решения X^* наибольшее по модулю собственное значение матрицы частных производных (матрицы Якоби ) по искомым характеристикам режима было меньше единицы .

Это условие и есть необходимое и достаточное.

Условие по норме матрицы Якоби:

- достаточное условие сходимости.

Для проверки (анализа) влияния нелинейности уравнений на сходимость итерационного процесса, запишем рекуррентное соотношение типа (118) в виде (120)

(120)

Возьмем частные производные от (120) и подставим их в матрицу Якоби (119) применительно к системе узловых уравнений в форме балансов токов.

(121)

Сопоставляя матрицу Якоби, для которой анализируется сходимость нелинейной системы уравнений, с матрицей  (линейной системы, подготовленной к итерации) замечаем, что отличие состоит в диагональном элементе: у матрицы  диагональный элемент _ii = 0, а у матрицы Якоби диагональный элемент

(122)

Анализ выражений (121), (122) показывает, что для слабо загруженных режимов с малыми нагрузками P_i и большими собственными проводимостями y_ii (малым сопротивлением подходящих линий) влияние нелинейности на сходимость мало, т.к. диагональный элемент близок к нулю.

Напротив, при расчете тяжелых режимов P_i велико, U_i мало (снижено по отношению к U_Б), влияние нелинейности на сходимость существенно, поэтому сходимость тяжелых режимов (режимов, близких к предельным по условиям статической устойчивости электрической системы) медленная, а иногда не наблюдается.

Расходимость итерационного процесса (при правильно закодированных исходных данных) служит, при упрощенном анализе, признаком нарушения статической устойчивости рассчитываемого режима. Это заключение является существенным результатом применения ЭВМ и численных итерационных методов решения уравнений установившегося режима. Оно используется в современной проектной и эксплуатационной практике.