2.3. Итерационные методы решения систем уравнений установившегося режима

В итерационных методах (или методах последовательного приближения) решение системы уравнений

(87)

получают как предел сходящейся последовательности значений

(88)

Если эта последовательность значений сходится, то разность между двумя соседними приближениями при достаточном числе итераций становится меньше заданной точности расчета _х

(89)

Здесь (89) – признак сходимости итерационного процесса.

Для применения итерационных методов необходимо:

- выбрать вектор начального приближения :

;

- построить рекуррентное соотношение вида:

, (90)

где φ – оператор рекуррентного соотношения, (который для сходимости должен быть оператором сжатия);

- организовать циклические вычисления:

(91)

Особенности и достоинства итерационных методов зависят от способа подготовки системы к итерации, т.е. от алгоритма итерационного процесса (90), (91).

Построим рекуррентное соотношение для системы уравнений (87). Для этого разрешим уравнения системы (87):

(92)

Относительно диагональных неизвестных:

(93)

или в общем виде:

(94)

Выражение (93) представляет систему уравнений, подготовленную к итерации, или развернутую запись рекуррентного соотношения (91), когда φ – линейный оператор.

Здесь X, α, β очевидны из (93), (94).

Итерационный вычислительный процесс по схеме (93), (94) вида ведет к решению (88), если выполняются условия теоремы сходимости итерации:

Для сходимости итерационного процесса решения линейной системы уравнений , подготовленной к итерации в виде , необходимо и достаточно, чтобы наибольшее по модулю собственное значение (число) матрицы системы, подготовленной к итерации , было бы по модулю меньше 1.

. (95)

Условие (95) – труднопроверяемое в силу сложности самой задачи нахождения λ – собственных значений матрицы α (λ₁, λ₂, … , λ_n), которые являются корнями характеристического полинома матрицы α, получаемых путем раскрытия характеристического определителя

(96)

где ,

- коэффициенты характеристического полинома, получаемые при раскрытии характеристического определителя.

Поэтому используют более доступную числовую характеристику сходимости для таких регулярных матриц как матрицы уравнений установившегося режима Y_у и Z_конт – канонические нормы матрицы m, l, или k-норма. Причем известно (доказано), что любая каноническая норма больше любого собственного значения матрицы .

Тогда теорема о достаточных условиях сходимости формулируется:

для сходимости итерационного процесса решения линейной системы в виде достаточно, чтобы какая-либо каноническая норма матрицы α была по модулю меньше 1.

, (97)

где .

2.4. Критерии сходимости итерации и анализ их выполнения для узловых уравнений установившихся режимов

2.4.1 Доказательство теоремы сходимости итерации

Итерационные процессы – это численные методы решения уравнений, и их эффективность зависит от числовых характеристик матриц коэффициентов системы уравнений. Обе числовые характеристики, упоминавшиеся в теореме о сходимости итераций, формулируют условия сходимости для матрицы  системы, подготовленной к итерации, в виде (93), (94),

(98)

Для доказательства теоремы сходимости зададимся начальным приближением и запишем следующие четыре приближения (для выявления общих закономерностей):

Подставив , , в выражение для , получаем

(99)

В общем виде

(100)

Найдем предел при . Как известно, предел суммы равен сумме пределов

(101)

В выражении (100) скобка представляет сумму членов матричного степенного ряда, с основанием . Этот ряд сходится и его сумма имеет предел, если выполняются условия сходимости

• необходимое и достаточное условие сходимости:

; (102)

• достаточное условие сходимости:

; (103)

Тогда эта сумма определится по аналогии с суммой членов геометрической прогрессии с основанием .

Для геометрической прогрессии с числовым основанием

.

Для степенного матричного ряда с основанием 

(104)

Предел второго слагаемого в выражении (100) при равен нулю, т.к.

. (105)

Подставив (104) и (105) в (100), получим

(106)

Умножим левую и правую части уравнения на и учитывая, что получаем

(107)

В выражение (107) соответствует неподвижной точке последовательности или точному решению системы уравнений, т.е. пределу , когда дальнейшего изменения значения в ходе итерационного процесса не происходит.