1.7 Решение уравнений состояния методом Гаусса
К числу наиболее характерных вычислительных схем этого метода относятся алгоритмы с обратным ходом и без обратного хода.
Алгоритм
метода Гаусса с обратным ходом.
Решение системы
линейных алгебраических уравнений вида
по
этому алгоритму состоит из двух этапов.
На первом
этапе (прямой
ход) исходная система за
однотипных шагов преобразуется таким
образом, что матрица коэффициентов
преобразованной системы становится
верхней треугольной, т.е. все элементы,
расположенные ниже главной диагонали,
равны нулю. На
втором этапе
(обратных ход) последовательно определяются
значения неизвестных от
до
.
Алгоритм метода Гаусса без обратного хода. Решение системы линейных алгебраических уравнений по этому алгоритму осуществляется за один этап, в результате которого матрица коэффициентов за однотипных шагов приводится к единичной, т.е. система уравнений разрешается относительно искомых неизвестных, которые равны соответствующим элементам полученного в результате преобразований столбца в правой части системы.
На
первом шаге
вычисления выполняются точно так же,
как и в алгоритме метода Гаусса с обратным
ходом. Получаемая в результате этого
преобразования система уравнений
характеризуется тем, что первый элемент
первого столбца матрицы равен единице,
а остальные элементы столбца равны
нулю.
На
втором шаге,
как и в предыдущем алгоритме, в качестве
ведущего элемента выбирается диагональный
элемент второго столбца матрицы
,
т.е.
.
Отличие состоит в том, что дополнительно
преобразуется также и первая строка
матрицы
,
причем таким образом, чтобы элемент
обратился в нуль.
Выполнение
операций произвольного (k-го) шага
соответствует преобразованию k-го
столбца таким образом, чтобы его
диагональный элемент
стал равен единице, а недиагональные
элементы – нулю. В результате выполнения
последнего шага
,
на котором пересчитываются элементы
последнего столбца матрицы
и все элементы столбца
,
получаем матрицу
и, следовательно,
.
Практическое применение метода Гаусса рассмотрено в разделе IV «Пример выполнения разделов курсовой работы».
Факторы, влияющие на точность решения
К причинам возникновения недопустимо большой погрешности относятся следующие:
округление результатов вычислений;
неточность исходных данных.
Округление
результатов вычислений.
Выполнение вычислений по методу Гаусса
требует, чтобы ведущий элемент
был отличен от нуля. Значения ведущих
элементов не могут быть оценены без
вычислений, соответствующих
последовательному пересчету элементов
матрицы
в процессе решения. Может оказаться,
что на некотором шаге ведущий элемент
становится равным нулю при точных
вычислениях или же близким к нулю при
округлении результатов вычислений. В
первом случае получить решение невозможно,
а во втором – в связи с исчезновением
значащих цифр в ведущем элементе
погрешность дальнейших вычислений
может быть весьма велика.
Неточность
исходных данных.
При решении инженерных задач исходные
данные всегда известны с некоторой
погрешностью, определяемой конечной
точностью измерения или вычисления
параметров системы и ее режима. Как
правило, для конкретных технических
задач относительная погрешность
результатов, получаемых при решении
систем линейных алгебраических уравнений,
соизмерима с погрешностями исходных
данных. Однако могут быть случаи, когда
погрешность исходных данных, т.е. значений
элементов матриц
и
,
приводят к чрезмерно большой погрешности
решения. Причина этого состоит в так
называемой плохой
обусловленности
матрицы коэффициентов системы уравнений,
приближенным показателем которой
является малость значения определителя
матрицы
.