2.3.4. Випадкова складова економетричної моделі.
Причин існування випадкової складової декілька:
1. Не включення пояснюючих змінних. Співвідношення між Y і X є спрощеним. Насправді існують і інші фактори, що впливають на у, які не враховані в моделі. Вплив цих факторів приводить до того, що спостережувані крапки лежать не на прямій Y = а+bX.
Часто зустрічаються фактори, які слід було б включити в регресійне рівняння, але неможливо цього зробити через їх кількісну невимірність. Можливо, що існують також інші фактори, які роблять такий слабкий вплив, що їх окремо не доцільно враховувати, а сукупний їх вплив може бути істотним. Крім того, можуть бути чинники, які є істотними, але які через відсутність досвіду такими не вважаються.
2. Агрегація змінних. Дана залежність - це спроба об'єднати разом деяке число мікроекономічних співвідношень. Оскільки окремі співвідношення, мають різні параметри, спроба об'єднати їх є апроксимацією. Спостережувана розбіжність приписується наявності випадкового члена.
3. Вибірковий характер початкових даних. Оскільки дослідники найчастіше мають справу з вибірковими даними при встановленні зв'язку між Y і X, то можливі помилки через неоднорідність даних в початковій статистичній сукупності. Зазвичай виключають з сукупності спостереження з аномальними значеннями досліджуваних ознак. І в цьому випадку результатом регресії є вибіркові характеристики.
4. Неправильна функціональна специфікація. Функціональне співвідношення між Y і X математично може бути визначене неправильно. Наприклад, залежність між Y та X не є лінійною. Слід прагнути уникати виникнення цієї проблеми, використовуючи відповідну математичну модель. Але будь-яка модель є лише наближенням реального зв'язку Y і X, а величину існуючої розбіжності відносять до залишкового члену.
5. Можливі помилки вимірювання.
2.3.5. Оцінювання параметрів моделі методом найменших квадратів (мнк).
Постає задача ─ застосувати метод найменших квадратів для оцінювання параметрів моделі, щоб відхилення фактичних значень Y від розрахункових на основі рівняння прямої мали найменшу суму квадратів відхилень. Ця вимога гарантує достовірність моделі.
Недоцільно знаходити параметри економетричної моделі мінімізуючи суму лінійних відхилень фактичних значень Y від розрахункових , бо ця сума може дорівнювати нулю, коли суми від’їємних та додатних відхилень будуть однаковими. Тому мінімізації підлягає сума квадратів відхилень, тобто
(2.3)
Метод, що реалізує цей принцип, називається методом найменших квадратів (МНК). Цей метод можна застосувати при умові нормального розподілу залишків li, причому M(li)=0, D(li)=б2 ─ стала, коваріація залишків дорівнює 0.
Отже, треба знайти такі а та b, при яких функція двох змінних f(a,b) має мінімум.
Критичні значення а та b знайдемо, використовуючи необхідну умову існування екстремуму.
Необхідною умовою існування екстремуму функцій кількох змінних є рівність нулю усіх частинних похідних першого порядку цієї функції. В даному випадку
(2.4)
Приведемо останню систему до стандартного вигляду
(2.5)
Одержали лінійну неоднорідну систему двох алгебраїчних рівнянь з невідомими a та b.
Величини
відомі на основі сукупності спостережень (статистичних даних).
Основний визначник системи (2.5) буде
(2.6)
тому розв’язок системи можна знайти за правилом Крамера:
(2.7)
.
(2.8)
З другого рівняння системи (2.5) параметр b можна знайти за формулою
(2.9)
Звідси випливає, що лінія регресії проходить через точку, координати якої є середніми значеннями спостережень показника Y і фактора Х.
Рівності (2.7, 2.9) описують координати критичної точки.