2. Задание.

Используя двумерную выборку своего варианта, выполнить:

1. Составить корреляционную таблицу.

2. Построить корреляционное поле.

3. Найти выборочные функции регрессии (в табличной форме):

и

4. Нанести выборочные линии регрессии на корреляционное поле (ломаная линия).

5. Методом наименьших квадратов найти эмпирические функции линейной регрессии: и

6. Найти те же функции и путем вычисления коэффициентов регрессии.

7. Нанести эмпирические функции регрессии на корреляционное поле.

3. Пример выполнения работы (решение варианта 0)

1. Используя двумерную выборку варианта 0 , составим корреляционную таблицу:

Таблица 5

y x	7	10	13	16	19
10	3	-	-	-	-	3
15	3	4	-	-	-	7
20	-	6	8	7	-	21
25	-	-	28	10	5	43
30	-	-	9	8	6	23
35	-	-	-	-	3	3
	6	10	45	25	14	100

2. Найдем минимальные и максимальные значения случайных величин X и y. Имеем

Корреляционное поле представляет собой изображение значений (вариантов) пар чисел в виде точек на плоскости. Корреляционное поле целесообразно строить на миллиметровой бумаге. На осях изобразить только тот промежуток, где находятся значения соответствующей случайной величины. Масштаб выбирается так, чтобы корреляционное поле заполнило целиком лист бумаги. Возле точек, изображающих двумерный вариант, проставить частоты этих вариантов. Корреляционное поле варианта 0 изображено на рис. 3.

3. Для нахождения выборочных функций регрессии используем формулы (19) и (23).

Результаты вычислений сведем в таблицы:

Таблица 6

X	10	15	20	25	30	35
	7	8,71	13,14	14,4	15,61	19

Таблица 7

Y	7	10	13	16	19
	12,5	18	25,11	25,2	29,29

4. Значения выборочных функций регрессии и , содержащиеся в таблицах 6 и 7, изображаем в виде точек на корреляционном поле и соединяем последовательные точки отрезками прямых. Целесообразно выборочные функции регрессии изобразить разными цветами (см. рис.3).

5. Для нахождения эмпирической функции регрессии Y на x необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений (29) относительно неизвестных величин a и b. Предварительно необходимо вычислить коэффициенты при неизвестных (a и b) и свободные члены. Расчеты удобно свести в таблицу (см. таблицу 8).

Подставив коэффициенты и свободные члены в (29), получим:

(36)

a и b находим по формулам Крамера.

(37)

Таким образом эмпирическая функция регрессии Y на x имеет вид:

(38)

Проделав аналогичную работу, получим эмпирическую функцию регрессии X на y:

(39)

4. Найдем те же функции и путем вычисления коэффициентов регрессии. Для этого воспользуемся формулами (9.1), (10.1), (11.2), (12.2), (15.1), (18), (32) – (36).

Таблица 8

i
	1	2	3	4	5	6	7	8
1	10	3	30	100	300	7	210	21
2	15	7	105	225	1575	8,71	914,55	60,97
3	20	21	420	400	8400	13,14	5518,8	275,94
4	25	43	1075	625	26875	14,4	15480	619,2
5	30	23	690	900	20700	15,61	10770,9	359,03
6	35	3	105	1225	3675	19	1995	57
∑			2425		61525		34889,25	1393,14

РИС. 3

Сумму берем их из таблицы 8, получим .

Аналогично:

Сумму берем из таблицы 8, получим:

Аналогично:

Используя формулы (33) и (34), запишем уравнения регрессии.

Чтобы убедиться в идентичности полученных результатов с эмпирическими функциями регрессии, полученным методом наименьших квадратов, разрешим выражения (40) и (41) относительно и . Получим:

(42)

(43)

Сопоставляя выражения (42) и (43) с (38) и (39) соответственно, убеждаемся в правильности произведенных расчетов.

7.Изобразим графики эмпирических функций регрессии на корреляционном поле (см. рис. 3).