1. Краткие теоретические сведения

   1. Системы случайных величин (св). Связь между св

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, когда одному и тому же пространству элементарных событий соответствуют две или более СВ.

Определение: СВ, соответствующих одному и тому же пространству элементарных событий, образуют систему СВ. Обозначение: (X, Y) – система двух СВ X и Y.

Рассмотрим систему двух дискретных СВ. Такая система может быть задана таблицей:

Таблица 1

X Y			…
			…
			…
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
			…

где:

Причем:

Числовыми характеристиками такой системы будут: -математические ожидания СВ X и Y;

-дисперсии СВ X и Y.

Числовые характеристики системы не исчерпываются числовыми характеристиками СВ, входящих в систему. Может иметь место взаимная связь между СВ, составляющими систему. Для ее описания вводят в рассмотрение еще одну числовую характеристику.

Определение: Корреляционным моментом случайных величин X и Y называется математическое ожидание (МО) произведения , т. е.

(1)

Для независимых СВ корреляционный момент равен нулю. Обратное утверждение неверно, т. е. из равенства нулю корреляционного момента не следует независимость X и Y. Она может быть, а может и не быть.

Непосредственно из определения вытекает формула для вычисления корреляционного момента:

(2)

- характеризует не только связь между СВ, но и их рассеяние. Для характеристики связи между СВ X и Y в чистом виде переходят к безразмерной характеристике:

(3)

где: - средние квадратические отклонения (СКО) СВ X и Y.

Определение: Величина , определяемая выражением (3), называется коэффициентом корреляции. =0 , если =0. Для независимых СВ коэффициент корреляции равен нулю.

2. Функции регрессии

Определение: Условным МО одной из СВ, входящих в систему (X, Y), называется ее МО, вычисленное при условии, что другая СВ приняла определенное значение.

Определение: Условное МО СВ Y при заданном X=x, т.е., , называется регрессией Y на x. Аналогично: - называется регрессией X на y.

Если рассматривать условные МО одной СВ при всех возможных значениях другой СВ, то получим следующие функции:

(4)

(5)

Определение: Функции (4), (5) называются функциями регрессии или линиями регрессии.

1.3. Понятие многомерной выборки

Если при статистических наблюдениях для каждого объекта измеряют значения 2-х, 3-х, …, n признаков, то в этом случае получают 2-х, 3-х, …, n-мерные выборки.

При n 2 выборки называют многомерными.

Каждый элемент многомерной выборки состоит из 2-х, 3-х, …, n чисел.

При обработке многомерных выборок, помимо изучения статистического материала, относящегося к отдельным признакам, стремятся также установить связи между признаками.

Рассмотрим выборку из двумерной генеральной совокупности, отождествляемой с системой 2-х СВ (X, Y).

В результате n независимых наблюдений получим n пар чисел:

(6)

Обычно статистический материал сводят в так называемую корреляционную таблицу:

Таблица 2.

Y X			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
			…		…

где:

На пересечении строк и столбцов частоты ( наблюденных пар значений признаков ( :

n – объем выборки;

- число пар ( при всех

(7)

- число пар ( при всех

(8)

Корреляционная таблица позволяет рассчитать числовые характеристики выборки по формулам:

(9)

(10)

где и - выборочные средние признаков X и Y.

Если корреляционная таблица содержит предварительно вычисленные по формулам (7), (8) (см. Таблицу 2), то выражения (9), (10) для нахождения и могут быть упрощены:

т. е.

(9.1)

(10.1)

(11)

, (12)

где и – выборочные дисперсии признаков X и Y.

и могут быть вычислены также по формулам:

(11.1)

(12.1)

Или, с учетом (7), (8):

(11.2)

(12.2)

В качестве оценок математических ожиданий и оценок дисперсий признаков X и Y можно принять:

(13)

Выборочные корреляционные моменты определяются по формулам:

(14)

или

(15)

Можно доказать, что для несмещенной оценки корреляционного момента необходим такой же поправочный коэффициент , как и для оценки дисперсии, т.е.

(16)

Оценка коэффициента корреляции выразится формулой:

(17)

Выражая оценки через выборочные характеристики по формулам (13) и (16), получим

, т. е.

(18)

где – выборочный коэффициент корреляции.