Тема 2. Арифметические основы эвм
2.1. Системы счисления
Система счисления - совокупность правил, символов и знаков, употребляемых для изображения чисел.
Разделяют системы счисления позиционные и непозиционные. Непозиционная система счисления задается перечислением изображаемых в ней значений. Позиционная система счисления характеризуется основанием и тем, что числа, как правило, представляются несколькими разрядами (являются многоразрядными), а вес любого разряда определяется его позицией в числе.
Oснование позиционной системы счисления определяет количество различных цифр (символов), допустимое в системе счисления. Это же число определяет, во сколько раз вес цифры данного разряда меньше веса цифры соседнего старшего разряда.
В ЭВМ используется только позиционные системы счисления.
Основной характеристикой любой системы счисления является ее основание, которое в дальнейшем обозначается буквой q.
Основанием системы счисления называется число, показывающее, во сколько раз изменяется значение одинаковой цифры при перестановке ее на соседнюю позицию (в десятичной - в десять раз, в восьмиричной - в восемь раз и т.д.).
В современных ЭВМ используются десятичная, двоичная, восьмиричная и шестнадцатиричная системы счисления.
Развернутое представление числа в позиционной системе счисления имеет вид:
где А(q) ‑ произвольное число в системе с основанием q;
‑ цифры
системы счисления;
n + m ‑ количество целых и дробных разрядов вместе.
Каждый разряд в позиционной системе имеет вес, который показывает во сколько раз единица данного разряда больше или меньше единицы нулевого разряда:
В техническом аспекте длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки. Предположим, длина разрядной сетки равняется числу n. Тогда максимальное число определяется по формуле:
а минимальное число определяется по формуле:
Диапазон представления чисел в ЭВМ зависит от длины разрядной сетки.
ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. Для записи различных чисел в этой системе счисления используется десять цифр (0-9). Применяется для записи исходных числовых данных, промежуточных и окончательных результатов счета.
Любое десятичное число можно представить в виде сумм произведений степеней числа 10 на соответствующие коэффициенты, относящиеся к определенным разрядам числа: единицам, десяткам, сотням и т.д.
Например, десятичное число 372,45 можно записать в виде:
372,45=3*102+7*101+2*100+4*10-1+5*10-2
ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - основа для ЭВМ. Во всех ЭВМ арифметические операции выполняются над числами, представленными в двоичной системе счисления, в которой для записи любого числа используются две цифры: 0 и 1.
Основанием двоичной системы является число 2, которое записывается как 10 (читается: один-нуль), число три записывается как 11 (один-один), число четыре - 100 (один-нуль-нуль) и т.д.
В двоичной системе счисления единица с переходом в соседний разряд изменяется в два раза. В развернутом виде двоичное число записывается в следующем виде:
1010111,11=1*26+0*25+0*24+0*23+1*22+1*21+1*20+1*2-1+1*2-2
Двоичная система счисления является наиболее простой из всех позиционных систем счисления. Преимущества этой системы выражаются в следующем:
простота выполнения арифметических и логических операций, что влечет за собой простоту устройств, реализующих эти операции, так как используется минимальное количество цифр (0 и 1), что позволяет применять в ЭВМ элементы, обеспечивающие 2 различных устойчивых состояния (включено или выключено, есть импульс или нет, высокое или низкое напряжение в цепи);
возможность использования аппарата алгебры логики (булевой алгебры) для анализа и синтеза операционных устройств ЭВМ.
Недостатком данной системы является то, что запись числа гораздо длиннее, чем в десятичной системе счисления, примерно в 3,3 раза.
ВОСЬМИРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. Для записи чисел используется 8 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7. Основание записывается комбинацией двух цифр - 10 "восемь" (q=8).
Любое число в этой системе счисления представляется последовательностью цифр от 0 до 7 включительно.
Например, восьмиричное число 247 в десятичной системе счисления изображается в виде 167:
247(8) = 2*82+4*81+7*80 = 128+32+7 = 167(10)
ШЕСТНАДЦАТИРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ используется при программировании (написании программ на машинном языке), для записи кодов операций, адресов команд и др. Она позволяет записывать адреса команд в более короткой и удобной записи, чем в двоичных кодах. Эта система с основанием 16 использует 10 цифр (0-9) и 6 заглавных букв латинского алфавита (A, B, C, D, E, F) для записи десятичных цифр 10, 11, 12, 13, 14, 15.
Для этой системы q = 16(10) = 10(16). В развернутой записи число имеет следующий вид:
DAC5E(16) = 13*164+10*163+12*162+5*161+14*160 = 855054(10).
Для того чтобы знать, в какой системе счисления записано определенное число, принято указывать десятичный индекс системы.
Например: 746(8), 1011(2), 365(10), А7D(16).
Эквиваленты десятичных (q=10) чисел в двоичной (q=2), восьмиричной (от 0 до 16) и шестнадцатиричной системах счисления следует запомнить (смотри таблицу 1).