Задачи и упражнения для самостоятельного решения
1. Рассчитать
коэффициенты прямой (
)
по следующим данным:
№ |
x |
y |
1 |
0 |
0,015 |
2 |
125 |
0,0775 |
3 |
200 |
0,115 |
4 |
300 |
0,165 |
5 |
400 |
0,215 |
6 |
500 |
0,265 |
7 |
600 |
0,315 |
8 |
700 |
0,365 |
9 |
800 |
0,415 |
(Ответ: 0,0005; 0,015)
2. Рассчитать коэффициенты прямой ( ) по следующим данным:
№ |
x |
y |
1 |
0,0300 |
–2,00 |
2 |
0,0310 |
–2,25 |
3 |
0,0320 |
–2,30 |
4 |
0,0330 |
–2,70 |
5 |
0,0340 |
–2,85 |
6 |
0,0350 |
–2,99 |
7 |
0,0360 |
–3,00 |
8 |
0,0370 |
–3,40 |
9 |
0,0380 |
–3,60 |
(Ответ: 0,192; 3,74)
3. На основании результатов анализа органической фазы после экстракции из водного раствора, содержащего различное количество карбоновой кислоты (данные приведены в таблице), определите коэффициенты прямой y=ax+b с помощью электронных таблиц Excel.
№ |
x (RCOOH), ммоль/л |
y (Н2О), ммоль/л |
1 |
4,0 |
11,2 |
2 |
7,0 |
14,6 |
3 |
9,4 |
16,6 |
4 |
10,8 |
17,6 |
5 |
13,0 |
19,6 |
6 |
16,0 |
22,4 |
7 |
18,4 |
24,6 |
8 |
20,0 |
26,6 |
(Ответ: 0,928; 7,702)
6. Линеаризация
В расчетных задачах курса физической и коллоидной химии всегда известен вид функции, которая связывает эти величины. Во многих случаях эта зависимость нелинейная. Для того, чтобы для расчета коэффициентов нелинейной зависимости можно было применить МНК в его простейшем варианте – для уравнения прямой – график перестраивают в таких координатах, чтобы зависимость стала линейной. Для нахождения таких координат исходное уравнение преобразуют к линейному виду у = ах+b – применяют метод линеаризации.
Чаще
всего при линеаризации используют:
замена переменной, логарифмирование и
другие алгебраические преобразования.
Например, замена величин 1/х
или хn
на новую переменную z
в уравнениях
и
приводит
их к линейному виду
.
Зависимость
после логарифмирования также преобразуется
в линейную:
.
В
некоторых случаях линеаризация проводится
в несколько действий. Уравнение изотермы
адсорбции Ленгмюра имеет вид:
,
где Г∞
и K
– постоянные величины, а Г и с
– переменные (рис. 34).
Рис. 34. Изотерма адсорбции Ленгмюра
Для его линеаризации найдем обратные величины от левой и правой части этого уравнения:
.
Разделим слагаемые в числителе правой части на знаменатель и проведем сокращения:
.
Это уравнение имеет линейный вид у = ах+b, где
,
,
,
,
а график зависимости (рис. 34) в новых линеаризующих координатах 1/Г – 1/с представляет собой прямую линию (рис. 35).
Для расчета констант уравнения Ленгмюра по этому графику удобно применить первый способ. По графику методом экстраполяции при х = 0 определяем коэффициент b в уравнении прямой y=ax+b: b = 0,02. Используя координаты y1 и x1 точки 1, лежащей на прямой, рассчитываем коэффициент а по формуле (16):
Рис. 35. Графическое определение констант уравнения адсорбции Ленгмюра