Примеры решения задач
1. Постройте график зависимости приведенной вязкости растворов от концентрации по следующим данным:
η, 1/г |
2 |
3,9 |
4,3 |
6,5 |
8 |
с, г/л |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
Определите методом экстраполяции характеристическую вязкость растворов.
Решение:
Строим график зависимости η от с (рис. 21).
Рис. 21. График зависимости приведенной вязкости растворов от концентрации
Характеристическую вязкость определяем методом экстраполяции, то есть продолжаем прямую до пересечения с осью ординат, [η] = 0,6.
2. Определите значение давления насыщенного пара воды при температуре 37°С по справочным данным:
t, °С |
15,0 |
20,0 |
25,0 |
30,0 |
35,0 |
40,0 |
50,0 |
55,0 |
Р, Па |
1704,1 |
2336,8 |
3166,3 |
4241,7 |
5621,7 |
7374,9 |
12335 |
15740 |
Решение:
Строим график зависимости давления насыщенного пара воды от температуры (рис. 22).
Проводя интерполяцию, находим, что давление насыщенного пара воды при температуре 37°С равно 6,3·103 Па.
Рис. 22. Зависимость давления насыщенного пара воды от температуры
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
1. Постройте график зависимости поверхностного натяжения раствора изоамилового спирта в воде от его концентрации по следующим данным (Т = 298 К):
с, ммоль/л |
0 |
7,8 |
15,6 |
125 |
250 |
σ, мДж/м2 |
71,9 |
70,0 |
69,1 |
55,1 |
47,9 |
Определите методом интерполяции поверхностное натяжение раствора при концентрации изоамилового спирта 25 ммоль/л.
(Ответ: 67,8 мДж/м2)
2. Определите методом интерполяции вязкость воды при температуре 42°С по справочным данным:
t, °С |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
η0, мПа·с |
1,138 |
1,002 |
0,890 |
0,797 |
0,719 |
0,653 |
0,596 |
0,547 |
(Ответ: 0,63 мПа·с)
3. Постройте график зависимости 1/с от времени для кинетического уравнения реакции 2 порядка по следующим данным:
1/(с, моль/л) |
t, с |
18,5 |
200 |
30 |
400 |
42 |
600 |
50 |
800 |
Определите методом экстраполяции концентрацию вещества в начальный момент времени.
(Ответ: 0,11 моль/л)
5. Расчет коэффициентов прямой
В физико-химических исследованиях и в расчетных задачах часто возникает необходимость определения коэффициентов прямой y=ax+b. Коэффициенты а и b могут быть найдены разными способами:
1) по графику методом экстраполяции или интерполяции при х = 0 определяют коэффициент b в уравнении прямой, а затем по формуле
|
(16) |
,используя координаты yi и xi любой точки, лежащей на прямой, рассчитывают коэффициент а;
2) по двум точкам на прямой рассчитывают коэффициент а,
|
(17) |
,а затем по формуле
b= yi – axi |
(18) |
вычисляют коэффициент b;
3) методом наименьших квадратов.
Первый способ определения коэффициентов прямой используется в том случае, когда точка х = 0 расположена в пределах рисунка (рис. 23). По графику определяем значение коэффициента b, как ординату точки, лежащей на прямой, у которой абсцисса равна 0 (х = 0). b = 1. Далее выбираем любую точку на прямой (например, точку 1), определяем ее координаты и по уравнению (16) рассчитываем значение коэффициента а:
Рис. 23. Вид графика, по которому удобно определять коэффициенты прямой y=ax+b первым способом
В том случае, когда точка х = 0 расположена за пределами рисунка, используют второй способ определения коэффициентов прямой y=ax+b (рис. 24). Вначале выбираем две любые точки, лежащие на прямой (например, точки 1 и 2) и определяем их координаты:
(·)1 (0,8; 2); (·)2 (2,4; 4).
Затем рассчитываем угловой коэффициент по формуле (17):
Далее по уравнению (18) рассчитываем значение коэффициента b:
b= y1 – ax1 = 2 – 1,25 · 0,8 = 1.
Рис. 24. Вид графика, по которому удобно определять коэффициенты прямой y=ax+b вторым способом
В расчетах, требующих высокой точности нахождения коэффициентов прямой, следует пользоваться третьим способом – методом наименьших квадратов (МНК).
МНК предназначен для исключения неопределенности рассчитываемых коэффициентов, он позволяет провести единственным образом прямую и рассчитать единственный набор коэффициентов. Данный метод применим как для линейных, так и нелинейных зависимостей. Линия (в частном случае – прямая) проводится по набору экспериментальных точек методом наименьших квадратов таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений ординат экспериментальных точек от расчетных, лежащих на прямой, была минимальной. Теория этого метода позволяет получить для расчета коэффициентов уравнения прямой yi = a хi + b:
|
(19) |
|
(20) |
,
,где n – число экспериментальных точек; хi и yi – координаты i-той точки.
Суммы в выражениях (19) и (20) вычисляются по всем значениям от 1 до n. Расчеты проводим, занося промежуточные результаты в таблицу. Рассмотрим пример.
№ |
хi |
yi |
хi2 |
хi yi |
1 |
2,0 |
5,6 |
4,00 |
11,20 |
2 |
3,5 |
7,3 |
12,25 |
12,55 |
3 |
4,7 |
8,3 |
22,09 |
39,01 |
4 |
5,4 |
8,8 |
29,16 |
47,52 |
5 |
6,5 |
9,8 |
42,25 |
63,70 |
6 |
8,0 |
11,2 |
64,00 |
89,60 |
7 |
9,2 |
12,3 |
84,64 |
113,16 |
8 |
10,0 |
13,3 |
100,00 |
133,00 |
|
|
|
|
|
Используя табличные данные, по формулам (19) и (20) рассчитаем коэффициенты:
уравнения прямой
.
Для повышения точности и облегчения расчетов в настоящее время данные расчеты проводят в электронных таблицах Excel, где уже заложен метод наименьших квадратов.
Рассмотрим расчет коэффициентов прямой а и b с помощью электронных таблиц Excel. Вносим в поле таблицы значения х и y (рис. 26). На главной панели окна активируем иконку «мастер диаграмм», выбираем тип диаграммы – точечная (рис. 27). Далее на области построения диаграммы появляются точки, координаты которых заданы в таблице (в условии задания) (рис. 28). Затем предлагается озаглавить полученную графическую зависимость и оси координат (рис. 29). После построения графика, необходимо добавить линию тренда (рис. 30), установив ее формат (рис. 31), и уравнение (рис. 32), в которое и будут входить коэффициенты а и b уравнения прямой (рис. 33). В уравнении прямой можно выбрать форму представления значений коэффициентов (числовой, экспоненциальный), а также число десятичных знаков после запятой (рис. 25).
Рис. 25. Расчет коэффициентов прямой методом наименьших квадратов с использованием таблиц Excel
Внести значения
х и y в ячейки на
лист электронной таблицы
Рис. 26. Расчет коэффициентов прямой методом МНК: исходные данные
2. Включить мастер диаграмм
1. Выделить диапазон
ячеек с исходными данными
3. Выбрать точечный
тип диаграмм
4. Нажать «далее»
Рис. 27. Расчет коэффициентов прямой методом МНК: мастер диаграмм
После появления
диаграммы нажать «далее»
Рис. 28. Расчет коэффициентов прямой методом МНК: вывод данных на область построения
1. Вписать название
диаграммы
2. Вписать название
координатных
осей
3. Нажать «далее»
Рис. 29. Расчет коэффициентов прямой методом МНК: название диаграммы
1. Выделяем точки
данных диаграммы
2. Нажав правую
кнопку мыши, выбрать в появившемся меню
«добавить линию тренда»
Рис. 30. Расчет коэффициентов прямой методом МНК: построение графической зависимости построение линии тренда
2. Нажав правую
кнопку мыши, выбрать «формат линии
тренда»
1. Выделить линию
тренда
Рис. 31. Расчет коэффициентов прямой методом МНК: формат линии тренда
2. Выбрать «показывать
уравнение на диаграмме»
1. Выбрать вкладку
«параметры»
3. Нажать «ОК»
Рис. 32. Расчет коэффициентов прямой методом МНК: вывод уравнения прямой
Уравнение прямой с
коэффициентами а и b
Рис. 33. Расчет коэффициентов прямой методом МНК: уравнение прямой