Лабораторная работа 6

Тема: Дифференцирование функций многих переменных. Геометрический смысл производной.

Цель: Научиться использовать пакет Maple для нахождения производных функций многих переменных. Научиться использовать аппарат дифференциального исчисления для решения практических задач.

Теоретические вопросы

1. Нахождение производных функции многих переменных.

2. Производная неявно заданной функции многих переменных.

3. Геометрический смысл 1й и 2й производной функции многих переменных.

4. Разложение функции многих переменных в степенной ряд.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение частной производной, производной по направлению и градиента функции многих переменных. Как эти понятия связаны между собой.

2. Перечислите способы записи частных производных в Maple.

3. Как найти производную по направлению в Maple?

4. Как вычисляется производная неявно заданной функции многих переменных?

5. Объясните геометрический смысл 1й и 2й производной функции двух переменных. Как строятся уравнения касательной и нормали функциям, заданным явно и неявно?

6. Приведите формулу разложения функции многих переменных в степенной ряд. Сколько слагаемых имеет ряд при разложении до степени n?

Индивидуальные задания

1. Найти все частные производные функции двух переменных. Отобразить на рисунке

а) вектор-градиент в точке

б) касательную плоскость в точке

в) нормаль к графику функции в точке .

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

2. Для задания 1 найти производную по направлению вектора a в точке .

1) 2)

3) 4)

5)

3. Для задания 1 разложить функцию в точке в ряд Тейлора до степени 2. Выполнить задание вручную и с помощью встроенной функции mtaylor. Сравнить результаты. На графике функции изобразить 2-е приближение функции в окрестности точки .

4. Для неявно заданной функции 2 переменных найти производные и .

1) (x₀, y₀) = (3, 5)

2) (x₀, y₀) = (2, 2)

3) (x₀, y₀) = (-2, 5)

4) =1 (x₀, y₀) = (7, 2)

5) (x₀, y₀) = (0, 3)

6) =1 (x₀, y₀) = (-5, -7)

7) (x₀, y₀) = (2, 1)

8) (x₀, y₀) = (3, 2)

9) (x₀, y₀) = (2, -5)

10) (x₀, y₀) = (5, 4)

5. Для функции из задания 4 построить касательную и нормаль к поверхности в заданной точке. Изобразить решение на рисунке.

Дополнительные задания

1. Найти уравнение общей касательной к линиям и , а также координаты точек касания. Отобразить полученное решение на рисунке.

Лабораторная работа 7

Тема: Приложение производной. Исследование функции на экстремумы.

Цель: Научиться использовать дифференциальное исчисление и пакет Maple для исследования функций на экстремумы.

Теоретические вопросы

1. Понятия критической точки и экстремума функции.

2. Признаки экстремума.

3. Возможности Maple по поиску экстремумов. Команды extrema, minimize, maximize.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение критической точки и локального экстремума функции.

2. Что является необходимым условием экстремума функции 1 и 2 переменных? Как проверить это условие в Maple?

3. Что является достаточным условием экстремума функции 1 и 2 переменных? Как проверить это условие в Maple?

4. В чем различие работы команд extrema и minimize/maximize? В каких случаях их результаты совпадают?

Индивидуальные задания

1. Найти локальные экстремумы функции одной переменной:

а) с помощью встроенной функции Maple;

б) используя необходимые и достаточные условия экстремума.

Сравнить результаты.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке.

Отобразить найденные точки (экстремумы, максимум и минимум) на графике функции.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

2. Используя встроенные функции Maple, найти локальные экстремумы функции двух переменных

а)  на всей области определения с помощью встроенной функции Maple;

б)  при заданных ограничениях с помощью встроенной функции Maple;

в)  на всей области определения, используя необходимые и достаточные условия экстремума.

Отобразить найденные точки на графике функции.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

3. Используя команды нахождения экстремумов, решить задачу.

1) Какой сектор (в градусах) нужно вырезать из круглого листа бумаги радиуса R, чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости.

2) Требуется изготовить картонную коробку вместимостью (объемом) V. Основанием коробки должен быть квадрат. Какого размера должно быть основание коробки, чтобы расход картона на ее изготовление был минимален.

3) Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма его катета и гипотенузы постоянна и равна а.

4) При каких линейных размерах цилиндрическая банка вместимости V будет иметь наименьшую площадь поверхности.

5) Требуется изготовить картонную коробку вместимостью (объемом) V. Основанием коробки должен быть правильный треугольник. Какой высоты должна быть коробка, чтобы расход картона на ее изготовление был минимален.