3-8

Элементы основ теории вероятностей

1. Основные термины и понятия

Теоретическим базисом надежности и долговечности является теория вероятностей и математическая статистика. Методы теории вероятностей позволяют исследовать закономерности отказов как массовых, случайных явлений. Однако они не дают возможности точно предсказать время возникновения отказа, поскольку оно представляет собой случайную величину. Кроме того, мы не можем определить точно, какой срок в состоянии проработать данное изделие, а способны лишь оценить ту вероятность, с какой оно проработает время, не меньшее заданного числа Х. Математические законы теории вероятностей не являются беспредметными абстракциями, лишенными физического содержания; они представляют собой математическое выражение реальных закономер­ностей, фактически существующих в массовых, случайных явлениях.

Событием (или «случайным событием») называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. События разделяют на три группы.

Первую группу образуют достоверные события. Достоверное событие обязательно произойдет, если будут выполнены вполне определенные условия. Причины достоверного события немногочисленны, очевидны и поддаются точному учету. Например, совершенно достоверным является факт работы исправного насоса, если к нему подключен исправный электромотор, к контактам которого приложено напряжение.

Вторая группа – невозможные события, т.е. такие, которые при определенных и известных условиях произойти не могут, поскольку отсутствуют причины для их возникновения. Эти причины можно полностью учесть и на основе их анализа сделать вывод о невозможности данного события. Например, если в электрической сети отсутствует напряжение, то работа мотора, питающегося от сети, является событием невозможным.

Третья группа – случайные события (вероятные). Они могут иметь множество причин, но нельзя заранее точно предсказать, возникнет ли такая совокупность причин, которая приведет к данному событию.

Полной группой событий называется несколько таких событий, хотя бы одно из которых должно непременно произойти в результате опыта. Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии опыта нет оснований, считать какое-либо из них более возможным, чем другое. Если несколько событий: 1) образуют полную группу; 2) несовместны; 3) равновозможные, то они называются случаями. Случай называется благоприятным событию, если появление этого случая влечет за собой появление события. Если результаты опыта сводятся к схеме случаев, то вероятность события А, вычисляется по формуле

Р(А) = m/n,

где n – общее число случаев, m – число случаев, благоприятных событию А.

Отказ и надежность (безотказная работа) — это основные, случайные события, изучаемые наукой о надежности.

Вероятность характеризует событие по степени его возможности. Вероятность есть численной мерой степени объективной возможности данного события. При этом вероятность достоверного события принята за единицу, а вероятность невозможного – за ноль. Тогда ве­роятность случайных событий лежит в пределах 0–1. В теории надежности типичным примером несовместных событий является отказ и безотказная работа какого-нибудь изделия.

Наряду с понятием случайного события важное, значение имеет понятие случайной величины. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины делятся на дискретные (прерывные) и непрерывные. Дискретные, случайные величины могут принимать определенные числовые значения, отделенные один от другого некоторыми промежутками. Непрерывные случайные величины могут принимать любые числовые значения, которые лежат в некотором промежутке. В теории надежности примером непрерывной случайной величины является случайное время безотказной работы, т. е. время от включения оборудования в работу до наступления отказа.