2. Определение точки разрыва:

Точка называется точкой разрыва функции , если функция определена в окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки ), но не является в ней непрерывной, (т.е. не выполняется хотя бы одно из требований определения непрерывности).

3. Типы точек разрыва:

1. разрыв типа выколотой точки, или устранимый разрыв в точке , если существует конечный предел , но этот предел не совпадает со значением функции f (x₀):

2) разрыв типа скачка в точке x₀, если не существует конечный предел , но существуют конечные односторонние пределы этой функции в точке x₀:

3) бесконечный разрыв в точке x₀, если не существует конечный предел , но при этом хотя бы один из односторонних пределов является бесконечным:

4. Классификация точек разрыва:

1. точки разрыва I рода, или точки конечного разрыва – это точки разрыва типа выколотой точки или типа скачка;

2. точки разрыва II рода – это точки бесконечного разрыва и точки разрыва, которые характеризуются тем, что хотя бы один из односторонних пределов не существует.

4. Основные свойства функций, непрерывных в точке:

1. если две функции и непрерывны в точке , то непрерывными в этой же точке являются их сумма , их произведение , а также их отношение , но при условии, что ;

2. если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то суперпозиция этих функций является непрерывной в точке ;

3. каждая из основных элементарных функций (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические) является непрерывной в каждой точке своей ООФ;

4. любая элементарная функция (получается из основных элементарных функций конечным числом арифметических операций и суперпозиций) является непрерывной в каждой точке своей ООФ.

4. Определение функции, непрерывной на промежутке:

Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка;

в случае, когда промежуток является конечным и замкнутым, т.е. , то на его концах и требуется односторонняя непрерывность (правосторонняя в точке и левосторонняя в точке ).

7. Исследовать заданную функцию на непрерывность – это означает:

1. описать множество всех точек x, в которых функция является непрерывной;

2. перечислить точки разрывов и указать тип каждого разрыва;

3. построить график функции (полностью или в окрестности каждой точки разрыва).

Аудиторные задания

Задача 1

Постройте график кусочно-заданной функции и по графику опишите свойство непрерывности этой функции; сформулируйте при этом рабочие определения:

1) 2) .

Ответы:

1)

Функция y=f(x) является непрерывной при и при , при этом в точке x=-2 непрерывность является односторонней; x=0 – точка разрыва, т.к. не , тип разрыва в точке x=0 бесконечный, т.к. один из односторонних пределов f(x) при x→0 является бесконечным.

2)

Функция y=f(x) является непрерывной при , при , при и при ; имеет 3 точки разрыва x=0, x=1, x=2, т.к. в каждой из этих точек не выполняется определение непрерывности функции; типы точек разрывов: x = 0 - бесконечный разрыв, т.к. ; x = 1 – разрыв типа выколотой точки, т.к. ; x = 2 – разрыв типа скачка, т.к., не, но есть конечные односторонние пределы и .

Задача 2

Исследуйте непрерывность элементарной функции, используя основные свойства непрерывных функций; построите часть графика функции в окрестности каждой точки разрыва:

1. ; 2) .

Ответы:

1)

Функция является непрерывной при и при , т.к. данная функция относится к элементарным функциям, следовательно, является непрерывной в каждой точке ; x = 3 – точка разрыва, т.к. не принадлежит ООФ, но её окрестность входит в ООФ; тип разрыва – бесконечный, т.к. , .

2)

Функция является непрерывной при и при , т.к. данная функция относится к элементарным функциям, следовательно, является непрерывной в каждой точке ; x = 2 – точка разрыва, т.к. не принадлежит ООФ, но её окрестность входит в ООФ; тип разрыва – бесконечный, т.к.

Задания для домашнего выполнения

Задача 1

Постройте график кусочно-заданной функции и по графику опишите свойство непрерывности этой функции; сформулируйте при этом рабочие определения:

1) 2)

Задача 2

Исследуйте непрерывность элементарной функции, используя основные свойства непрерывных функций; построите часть графика функции в окрестности каждой точки разрыва:

1) ; 2) ;

Задание 3

Решите следующие задачи (Берман №222, №223, №227, №228, №229):

1. Три цилиндра, радиусы оснований которых соответственно равны 3, 2 и 1 м, а высоты одинаковы и равны 5 м, поставлены друг на друга. Выразить площадь поперечного сечения получившегося тела как функцию расстояния этого сечения от нижнего основания нижнего цилиндра. Будет ли эта функция непрерывной?

2. Функция содержит параметр a :

При каком выборе числа функция будет непрерывной?

3.Какого рода разрывы имеют функции и при ? Укажите характер графиков этих функций в окрестности точки .

4. Исследуйте непрерывность функции, заданной так: при , при . Постройте график этой функции.

5.Сколько точек разрыва (и какого рода) имеет функция ? Постройте её график.

Ответы к заданиям для домашнего выполнения

Задача 1

1) Функция является непрерывной на промежутках и

; в точке имеет разрыв типа выколотой точки, т.к. ; в точке имеет разрыв типа скачка, т.к. .

2. Функция является непрерывной при и при , в точке имеет бесконечный разрыв, т.к. .

Задача 2

1)

Функция является непрерывной при и при , в точке x = 1 – имеет бесконечный разрыв; , .

2)

Функция непрерывна на каждом из промежутков и имеет бесконечные разрывы в точках и .

Задача 3

1. , функция имеет разрывы типа скачка при x = 5 и x = 10.

2. При a = 1.

3. Функция имеет в точке разрыв первого рода (типа выколотой точки);

функция имеет в точке разрыв второго рода (бесконечный).

4. Функция является непрерывной при всех и имеет разрыв типа скачка при x = 0.

5. Функция имеет три точки разрыва: - точка разрыва первого рода (устранимый разрыв), - точки разрыва второго рода (бесконечные разрывы).

Занятие 10. Контрольная работа

Цель занятия:

провести контрольную работу по теме: «Предел и непрерывность функций одной переменной»

Контрольная работа «Предел и непрерывность функций одной переменной»,

вариант 0

Задача 1

Вычислить , ответы проиллюстрировать возможным локальным поведением графика функции в окрестности точки :

1) ; 2) ;

3*) ; 4) .

Задача 2

Сравнить бесконечно малые функции при :

1) , , ;

2*) , , .

Задача 3

1) По графику функции описать ее непрерывность:

.

2) Исследовать функцию на непрерывность, построить часть графика в окрестности точки разрыва: .