2. Принцип замены эквивалентных бесконечно малых:

При вычислении пределов любой бесконечно малый множитель можно заменить на ему эквивалентный, т.е. если при x→a имеем , , то

.

Аудиторные задания

Задача 1

Вычислите следующие пределы функции f (x), используя правила раскрытия основных неопределенностей; некоторые результаты проиллюстрируйте возможным локальным поведением графика функции f (x) в окрестности точки, в которой вычисляется предел; опишите смысл иллюстрации:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) ;

19) ; 20) ; 21) .

Ответы: 1) ; 2) ; 3) e²; 4) +∞, если x→+∞; 0, если x→-∞; 5) ; 6) 5/7; 7) 2/3;

8) 1/2; 9) k; 10) 2/3; 11) 1/2; 12) ; 13)2/π; 14) ∞; 15) -3/20; 16) -2;

17) -4ln2; 18)-0,5; 19) 20)-0,5;  21) 0.

Задания для домашнего выполнения

Задача 1

Вычислите следующие пределы функции f (x), используя правила раскрытия основных неопределенностей; некоторые результаты проиллюстрируйте возможным локальным поведением графика функции f (x) в окрестности точки, в которой вычисляется предел; опишите смысл иллюстрации:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) .

Ответы к заданиям для домашнего выполнения

Задача 1

1) ; 2) ; 3) 0, если x→+∞; +∞, если x→-∞; 4) ; 5) ;

6) 2/5; 7) 3/4; 8) 1/a; 9) 1; 10) ∞; 11) ; 12) -3/2;

13)2; 14) -4; 15) ; 16) 2/3; 17) 0; 18) 0,5;

Занятие 7. Самостоятельная работа «Пределы функций»

Цель занятия:

провести промежуточный контроль по технике вычисления различных пределов.

Самостоятельная работа «Пределы функций», вариант 0

Задача 1 (15 баллов)

Вычислите следующие пределы ; не менее чем в четырех задачах результат проиллюстрируйте графически локальным поведением функции f (x) в окрестности точки х = а и опишите смысл иллюстрации:

1) 2) 3) ;

4) 5) ; 6) ;

7) 8) ; 9) 10) .

Задача 2 (10 баллов)

Ответьте на вопросы о предельном поведении функции y = f (x), заданной графически:

1) ООФ, ОЗФ; 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) ;

9) укажите точки, в окрестности которых f(x) является бесконечно малой или бесконечно большой.

Ответы к варианту 0 сам. раб. «Пределы функций»

Задача 1 (15 баллов)

1) , где ;

y x	для значений x, достаточно больших по модулю, значения функции становятся сколь угодно близкими к числу 0;

2) , где ;

y x	точка x=-2 не входит в ООФ , но окрестность этой точки входит в ООФ и значения функции становятся сколь угодно близкими к числу -0,2, если брать значения аргумента x, достаточно близкими к числу -2;

3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ;

8) , где ;

y x	точка x=1 не входит в ООФ , но окрестность этой точки входит в ООФ и для значений x, достаточно близких к 1, значения функции становятся сколь угодно большими по модулю;

9) , где ;

y x	для достаточно больших положительных значений x функция принимает сколь угодно большие положительные значения;

10) , где ;

x	значения функции становятся сколь угодно близкими к числу , если брать значения аргумента x, достаточно близкими к числу 3.

Задача 2 (10 баллов)

1. ООФ: ;

ОЗФ: ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. f(x) является бесконечно малой при x→3 и при x→6 , бесконечно большой при x→4.