
- •Тема 1. Предел и непрерывность функций одной переменной
- •Занятие 2. Вычисление пределов последовательностей с помощью свойств сходящихся, бесконечно малых, бесконечно больших и ограниченных последовательностей
- •Основные теоремы о сходящихся последовательностях:
- •Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях:
- •Основные теоремы о бесконечно больших последовательностях:
- •Занятие 3. Самостоятельная работа «Последовательности и их пределы»
- •Определение предела функции при на языке последовательностей (по Гейне):
- •Определение предела функции при на языке окрестностей (по Коши):
- •Определение бесконечно малой (б.М.), бесконечно большой (б.Б.) и локально ограниченной (лок.Огр.) функции при и некоторые связи между этими понятиями:
- •5. Односторонние пределы и их связь с пределом функции:
- •Основные теоремы о функциях, имеющих конечные пределы:
- •Основные теоремы о бесконечно малых функциях:
- •Основные теоремы о бесконечно больших функциях:
- •Занятие 6. Основные правила раскрытия неопределенностей. Замечательные пределы. Раскрытие неопределенностей с помощью замены эквивалентных бесконечно малых
- •1. Правила раскрытия основных неопределенностей:
- •Принцип замены эквивалентных бесконечно малых:
- •Занятие 7. Самостоятельная работа «Пределы функций»
- •Занятие 8. Сравнение бесконечно малых
- •1. Сравнение бесконечно малых функций:
- •2. Порядок малости одной бесконечно малой функции относительно другой:
- •Занятие 9. Исследование функций на непрерывность
- •Определение непрерывности функции в точке:
- •Определение точки разрыва:
- •Типы точек разрыва:
- •Классификация точек разрыва:
- •Основные свойства функций, непрерывных в точке:
- •Определение функции, непрерывной на промежутке:
- •Ответы к задачам варианта 0 контрольной работы«Предел и непрерывность функций одной переменной»
Принцип замены эквивалентных бесконечно малых:
При вычислении пределов любой бесконечно
малый множитель можно заменить на ему
эквивалентный, т.е. если при x→a
имеем
,
,
то
.
Аудиторные задания
Задача 1
Вычислите следующие пределы функции f (x), используя правила раскрытия основных неопределенностей; некоторые результаты проиллюстрируйте возможным локальным поведением графика функции f (x) в окрестности точки, в которой вычисляется предел; опишите смысл иллюстрации:
1)
; 2)
; 3)
;
4)
; 5)
; 6)
;
7)
; 8)
; 9)
;
10)
; 11)
; 12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
; 17)
;
18)
;
19)
; 20)
;
21)
.
Ответы:
1)
;
2)
;
3) e2; 4) +∞, если x→+∞;
0, если x→-∞; 5)
;
6) 5/7; 7) 2/3;
8)
1/2; 9) k; 10) 2/3; 11) 1/2; 12)
;
13)2/π; 14) ∞; 15) -3/20; 16) -2;
17)
-4ln2; 18)-0,5; 19)
20)-0,5;
21) 0.
Задания для домашнего выполнения
Задача 1
Вычислите следующие пределы функции f (x), используя правила раскрытия основных неопределенностей; некоторые результаты проиллюстрируйте возможным локальным поведением графика функции f (x) в окрестности точки, в которой вычисляется предел; опишите смысл иллюстрации:
1)
; 2)
; 3)
;
4)
; 5)
; 6)
;
7)
; 8)
; 9)
;
10)
; 11)
;
12)
;
13)
; 14)
;
15)
;
16)
; 17)
; 18)
.
Ответы к заданиям для домашнего выполнения
Задача 1
1)
; 2)
; 3)
0, если x→+∞; +∞,
если x→-∞; 4)
; 5)
;
6) 2/5; 7) 3/4; 8) 1/a; 9) 1; 10) ∞; 11) ; 12) -3/2;
13)2; 14)
-4; 15)
; 16)
2/3; 17) 0; 18) 0,5;
Занятие 7. Самостоятельная работа «Пределы функций»
Цель занятия:
провести промежуточный контроль по технике вычисления различных пределов.
Самостоятельная работа «Пределы функций», вариант 0
Задача 1 (15 баллов)
Вычислите следующие пределы
;
не менее чем в четырех задачах результат
проиллюстрируйте графически локальным
поведением функции f
(x) в окрестности
точки х = а и опишите смысл
иллюстрации:
1)
2)
3)
;
4)
5)
;
6)
;
7)
8)
; 9)
10)
.
Задача 2 (10 баллов)
Ответьте на вопросы о предельном поведении функции y = f (x), заданной графически:
|
1) ООФ, ОЗФ;
2)
3)
4)
5)
6)
7) 8)
|
9) укажите точки, в окрестности которых f(x) является бесконечно малой или бесконечно большой.
Ответы к варианту 0 сам. раб. «Пределы функций»
Задача 1 (15 баллов)
1)
,
где
;
y
x |
для значений x, достаточно больших
по модулю, значения функции
|
2)
,
где
;
y
x |
точка x=-2 не входит в ООФ , но окрестность этой точки входит в ООФ и значения функции становятся сколь угодно близкими к числу -0,2, если брать значения аргумента x, достаточно близкими к числу -2;
|
3)
; 4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
,
где
;
y
x |
точка x=1 не входит в ООФ , но окрестность этой точки входит в ООФ и для значений x, достаточно близких к 1, значения функции становятся сколь угодно большими по модулю;
|
9)
,
где
;
y
x |
для достаточно больших положительных значений x функция принимает сколь угодно большие положительные значения; |
10)
,
где
;
x |
значения функции
становятся сколь угодно близкими к
числу
|
Задача 2 (10 баллов)
ООФ:
;
ОЗФ:
;
;
;
;
;
;
;
;
f(x) является бесконечно малой при x→3 и при x→6 , бесконечно большой при x→4.