1. Основные теоремы о функциях, имеющих конечные пределы:

   1. если непрерывна в точке , то ;

   2. ;

   3. , где C-const по x;

   4. если и ,

то

2. Основные теоремы о бесконечно малых функциях:

; ; ;

, если лок.огр. не является б.м.

3. Основные теоремы о бесконечно больших функциях:

; ;

, если лок.огр. не является б.м.;

Аудиторные задания

Задача 1

Вычислите пределы функций f (x) , используя теоремы о функциях, имеющих конечные пределы, о бесконечно малых, бесконечно больших и локально ограниченных функциях; результат вычисления проиллюстрируйте возможным локальным поведением графика функции f (x) в окрестности той точки, в которой вычисляется предел; опишите словами смысл иллюстрации:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) .

Ответы: 1) 9; 2) ∞; 3) 0; 4) -0,4; 5) 0; 6) 0,5; 7) 0; 8) -1; 9) 0; 10) 4;

11) 2/3; 12) 0; 13) 0, если x→+∞; +∞, если x→-∞; 14) 1/13.

Задания для домашнего выполнения

Задача 1

Вычислите пределы функций f (x) , используя теоремы о функциях, имеющих конечные пределы, о бесконечно малых, бесконечно больших и локально ограниченных функциях; результат вычисления проиллюстрируйте возможным локальным поведением графика функции f (x) в окрестности той точки, в которой вычисляется предел; опишите словами смысл иллюстрации:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9)

10) ; 11) ; 12) ;

13) .

Ответы к заданиям для домашнего выполнения

Задача 1

1) 3/4; 2) 0; 3) 0,5; 4) 6; 5) ∞; 6) -1; 7) 0,25; 8) ∞; 9) ∞;

10) 0,25; 11) 1/3; 12) 1/2, если x→+∞; -∞, если x→-∞;

13) 5/2, если x→+∞; -5/2, если x→-∞.

Занятие 6. Основные правила раскрытия неопределенностей. Замечательные пределы. Раскрытие неопределенностей с помощью замены эквивалентных бесконечно малых

Цель занятия:

1) сформулировать основные правила раскрытия неопределенностей;

2) рассмотреть раскрытие неопределенности с помощью 2-го замечательного предела;

3) отработать раскрытие неопределенности с помощью замены эквивалентных бесконечно малых.

Краткие теоретические сведения

1. Правила раскрытия основных неопределенностей:

Правило 1. Чтобы раскрыть неопределенность , образованную при делением целых многочленов или иррациональных функций, нужно в числителе и в знаменателе вынести за скобки переменную в старших степенях и провести сокращение этих степеней.

Правило 2. Чтобы раскрыть неопределенность , образованную при делением целых многочленов или иррациональных функций, нужно алгебраическими преобразованиями выделить в числителе и в знаменателе критический множитель и сократить на него дробь.

Правило 3. Чтобы раскрыть неопределенность , нужно для выражения, стоящего под пределом, сделать алгебраические преобразования так, чтобы неопределенность исчезла или заменилась на неопределенность или .

Правило 4. Неопределенность раскрывается сведением ко второму замечательному пределу: или .

Правило 5. Для раскрытия неопределенности , образованной трансцендентными функциями (тригонометрическими, логарифмическими, показательными) или иррациональной функцией, нужно заменять бесконечно малые трансцендентные или иррациональные функции на эквивалентные им бесконечно малые алгебраические функции, используя следующие теоретические эквивалентности:

при