1.2. Пространственное распределение температуры при облучении пучком электронов Профиль температурного поля в условиях облучения пучком электронов

Экспериментальные результаты (глава 1) свидетельствуют о том, что интенсивность аномального массопереноса в твердом теле, возникающего при воздействии пучков электронов, зависит от энергии электронов в пучке, плотности тока, интегральной дозы облучения и температурных режимов. Для понимания природы наблюдаемого массопереноса необходимо изучить состояние твердого тела в процессе облучения, т.е. определить температурное поле в образце и распределение радиационных точечных дефектов.

Методы расчета температуры в условиях облучения в литературе изложены достаточно подробно [⁴⁰, ⁴¹, ⁴²], но точные численные данные для определенных условий облучения отсутствуют, поэтому необходимо провести расчеты температурного профиля при облучении пучком электронов с энергией 110 МэВ и плотностью тока 0,011 А/м².

Метод расчета пространственного распределения температуры в условиях облучения пучком электронов

Применение законов сохранения энергии и закона Фурье к анализу про­цесса теплопроводности в неподвижной изотропной среде приводят к диффе­ренциальному уравнению теплопроводности, которое связывает временное и пространственное изменение температуры:

(2.3)

где - плотность;

- удельная теплоемкость;

- мощность внутренних источников теплоты, которая представляет собой количество теплоты, выде­ляемое источниками в единице объема тела за единицу времени.

В данном случае мощность внутренних источников тепла представляет собой поглощенную дозу (глава 1, рисунок 1, 2). В рассматриваемом случае, площадь поверхности образца значительно меньше площади пучка, поэтому задачу распределения температуры можно рассматривать как одномерную. Тогда уравнение (2.1) примет следующий вид:

. (2.3)

Так как величина имеет сложную зависимость от x, поэтому решить аналитически это уравнение не представляется возможным. Для нахождения профиля температуры воспользуемся численными методами.

Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, при реше­нии уравнений с частными производными методом конечных разностей, произ­водные заменяются соответствующих разностями

(2.3)

где - шаг по координате.

(2.3)

аналогично

(2.3)

где - шаг по времени.

Применим граничные условия третьего рода. При этом задаются температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Граничное условие третьего рода характеризует закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой в термодинамическом процессе. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона-Рихмана. Согласно закону Ньютона-Рихмана, количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды :

, (2.3)

где -коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м²К), который характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой [⁴³].

Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи (2.6), должно равняться количеству теплоты, подводимому к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела, т.е.

(2.3)

Окончательно граничное условие третьего рода можно записать в виде

. (2.3)

В процессе эксперимента охлаждение осуществляется потоком инертного газа (N₂, Ar).

Для расчета температурных полей в вакууме необходимо изменить граничное условие на поверхности образца. Теплообмен ме­жду образцом и окружающим пространством в вакууме осуществляется излучением, тогда граничное условие запишется следующим образом:

, (2.3)

где - степень черноты поверхности образца; - константа излучения абсолютно черного тела.

Используя уравнения (2.4) и (2.5) запишем (2.2) с помощью конечных раз­ностей

, (2.3)

где .

Определим

(2.3)

Из формулы (2.11) следует, что если известны три значения в слое: , , , то определяется значение в -слое. Нам известны все значения на прямой из начальных условий. По формуле (2.11) мы определим значения на всех внутренних точках отрезка . Значения в крайних точках этого отрезка нам известны из граничных условий. Так слой за слоем мы определим значения искомого решения во всех узлах сетки [⁴⁴, ⁴⁵].

Доказано, что по формуле (2.11) можно получить приближенное значение решения не при произвольном соотношении шагов h и l, а только в том случае, если

(2.3)

Пространственное распределение температуры в образце рассчитывалась с помощью ЭВМ.