Численный метод решения кинетического уравнения диффузии. Принцип расщепления
Для решения уравнений воспользуемся методом расщепления [58]. Рассмотрим этот принцип решения на основе уравнения диффузии. Уравнение диффузии (4.32) можно схематично представить в следующим образом:
. (4.6)
Уравнение (4.33) описывает одномерное распределение примеси, обусловленное следующими процессами: концентрационной диффузией (первое слагаемое в правой части), термодиффузией (второе слагаемое в правой части), вакансионным механизмом (третье слагаемое в правой части). Запишем уравнение для этих процессов отдельно:
, (4.6)
. (4.6)
Переход от
к
выполним за два «дробных» шага. На первом
шаге в течение времени
действует уравнение (4.34),
на втором шаге также в течение времени
действует уравнение (4.35).
Естественно ожидать, что совокупный
эффект двух таких шагов близок к эффекту
перехода от
к
по уравнению (4.33).
Согласно принципу расщепления, отдельные члены (или комплексы), входящие в уравнение, можно реализовать порознь на различных промежуточных этапах. Это, естественно, упрощает построение и исследование аппроксимирующих схем.
Если уравнения дробных шагов описывают частные физические явления (как в нашем примере), то говорят о расщеплении по физическим процессам.
Применение неявных схем связано с необходимостью при расчете очередного временного слоя решать систему уравнений, связывающих в узлах шаблона, принадлежащие этому слою точки. Для решения подобных систем уравнений разработаны специальные методы.
Рассмотрим третью краевую задачу для уравнения диффузии.
,
с граничными условиями
при
(4.6)
при
(4.6)
где
-заданные
функции времени.
Введем сетку
Пользуясь интерполяцией по t, построим неявную схему с ошибкой аппроксимации O(2)+O(h2):
(4.6)
Граничные условия приближенно заменим следующими:
(4.6)
(4.6)
предположим что в слое
значения
,
уже вычислены. Опишем способ расчета
значений
и перепишем систему уравнений (4.39),
(4.40), (4.34) в
виде
(4.6)
где
,
Для решения системы уравнений (4.41)
применим метод последовательного
исключения неизвестных. Предположим,
что
,
тогда из первого уравнения системы
(4.37) найдем соотношение
Подставив это выражение для
в
следующее уравнение, преобразуем его
в соотношение
и т.д. С помощью индукции легко
устанавливаются следующие формулы:
(4.6)
(4.6)
Решение системы осуществляется в два
этапа. Сначала по формулам (4.43)
последовательно вычисляются прогоночные
коэффициенты
,
.
При
имеем
,
и (4.41) даст непосредственное значение
.
На втором этапе с помощью прогоночных
соотношений (4.43) последовательно
определяем
для
Описанный процесс называют прогонкой,
точнее, трехточечной прогонкой [59].
В силу нелинейности исходного уравнения, значения коэффициентов при неизвестных брались из предыдущего слоя по времени. Поэтому полученная неявная конечно-разностная схема имеет первый порядок аппроксимации. Для увеличения точности расчетов уменьшались шаги по координате и времени. В некоторых случаях проводилась тройная итерация внутри метода прогонки, которым решалась исходная система уравнений, что приводило к лучшей сходимости решения. Расчеты проводились для различных гомогенных и гетерогенных систем.