5.4. Модели и схемы выбора и принятия решений в условиях неопределенности

Схемы компромисса и методы их достижения, рассмотренные в предыдущих разделах, предполагали следующее:

• параметры множества вариантов Х=(х₁, х₂,…,х_n), от которых зависят значения частных показателей качества и эффективности F_i = F (х₁, х₂,…,х_n), i=1…m, в ходе структурно-параметрического синтеза определены однозначно;

• на всем множестве вариантов Х, полученных в результате системного проектирования, значения частных показателей качества и эффективности F=(F₁,F₂,…,F_m), рассчитаны при наличии полной и достоверной информации, необходимой для их определения.

В большинстве практических приложений подобные допущения не выполняются. Задачи структурно-параметрического синтеза множества вариантов построения логистических систем и последующие оценки их качества и эффективности приходится решать в условиях существенной неопределенности.

По источнику неопределенности подразделяются следующим образом:

• неопределенность в достижении планируемых характеристик вариантов проектируемой системы (параметрическая неопределенность);

• неопределенность внешних условий (состояния среды).

Неопределенность первого типа обусловлена неизбежными отличиями воплощенной в реальности системы от своего проекта. Она влияет, в первую очередь, на значения показателей качества системы, которые могут существенно отличаться от запланированных значений.

Неопределенность состояния внешней среды – естественное свойство реальности. Она, прежде всего, приводит к неопределенности оценки эффективности применения системы. Такая неопределенность может быть усилена в ситуациях, когда происходит применение разрабатываемой системы не по первоначальному назначению. Например, в результате диверсификации деятельности компании ее складские мощности могут быть перепрофилированы для хранения новой продукции. Разумеется, показатели эффективности такой системы могут существенно отличаться от расчетных значений.

Возникновение неопределенностей первого и второго типа приводит к тому, что значения частных показателей качества и эффективности F=(F₁,F₂,…,F_m) теряют свойства точечных оценок. Вместо этого каждая величина F_i = F (х_j), i=1…m, j=1…n характеризуется интервалом значений [F_i^н , F_i^в], называемым интервальной оценкой. Здесь F_i^н - нижнее значение показателя F_i, F_i^в - соответственно верхнее его значение. Каждому точечному значению из указанного интервала ставится в соответствие вероятность его возникновения, характеризующая степень неопределенности оценки. Если сведения о вероятности возникновения значений точечных оценок из интервала [F_i^н , F_i^в] отсутствуют, принимается предположение о равномерности распределения вероятности в этом интервале.

Для различных F_i эти интервалы и распределения вероятностей в них могут быть различными. В совокупности интервалы неопределенности для каждого х_j будут многомерными. Соответственно, распределения вероятностей значений в этих интервалах также будут многомерны. Возможны также ситуации, когда одни показатели сохранят свойства точечных оценок (не будут подвержены воздействию неопределенности), а другие – нет. На рисунке 19 а) и б) приведены примеры одномерных интервальных оценок показателей F₁ и F₂ соответственно, на рисунке 19 в) – пример двумерной интервальной оценки, когда область возможных пар значений показателей F₁ и F₂ описывается геометрическими фигурами (в примере - прямоугольниками).

а) б) в)

Риc. 19

Плотности распределения вероятности p(F_i) (одномерные и многомерные) на интервалах и областях значений [F_i^н,F_i^в] могут описываться различными законами распределения, изучаемыми в курсе математической статистики – равномерным, нормальным, треугольным, экспоненциальным и др. Интервалы значений могут быть как непрерывными, так и дискретными.

Очевидно, что возникновение интервальных оценок делает затруднительным применение методов отыскания компромиссов и схем векторной оптимизации, рассмотренных в п.5.3. Боле того, возникновение неопределенности в расчете численных значений показателей осложняет также определение Парето-оптимальных множеств. Как видно из рисунка 18в), отдельные секторы областей возможных значений показателей не являются Парето-оптимальными, и, следовательно, тот или иной вариант х_j может быть отнесен к множеству Парето лишь с некоторой вероятностью, пропорциональной вероятности реализации именно Парето-оптимальных значений его показателей.

Основной способом преодоления влияния неопределенности и обеспечения возможности применения ранее рассмотренных схем решения является замена интервальных оценок точечными, в той или иной мере отражающими как стратегию ЛПР, так и параметры исходной интервальной оценки. Можно выделить следующие подходы в такой замене:

• выбор максимального значения F_i на выделенном интервале или в области значений, что соответствует оптимистической стратегии ЛПР;

• выбор минимального значения F_i на выделенном интервале или в области значений, что соответствует пессимистической стратегии ЛПР;

• выбор наиболее вероятного значения F_i, т.е. такого, плотность вероятности возникновения которого p(F_i) принимает наибольшее значение (правило максимальной вероятности);

• выбор в качестве точечной оценки математического ожидания величины F_i на интервале [F_i^н,F_i^в], которое вычисляется следующим образом:

  • .

Для различных составляющих вектора частных показателей качества и эффективности F=(F₁,F₂,…,F_m) могут применяться разные способы замены из числа приведенных, что приводит к формированию смешанных стратегий.

После проведения замены интервальных оценок показателей F_i точечными задача выбора и принятия решений может быть решена схемами и методами отыскания компромисса, изложенными в п.5.3.

Точечные оценки, сформированные взамен интервальных одним из приведенных выше способов, могут также использоваться для формирования Парето-оптимальных множеств в условиях неопределенности. Это позволяет сократить исходное множество альтернатив.

Для пояснения процесса принятия решения в условиях неопределенности воспользуемся примером, изложенным в 5.3. добавим в него новую информацию о частоте предшествующего спроса, которую можно получить из анализа результатов предыдущих периодов.

Пусть известно, что спрос на 1 заказ в день наблюдался 15 раз, на 2 заказа – 30 раз, на 3 заказа – 30 раз, на 4 заказа – 25 раз, т.е. известна частота каждого возможного исхода.

Всего наблюдений было 15+30+30+25=100. По формуле (частота исхода/сумма частот всех исходов) определим относительную частоту каждого исхода, характеризующую вероятность его наступления. Поместив результаты в таблицу 4, определим исходы, вероятность которых максимальна. Это исходы «2 заказа в день» и «три заказа в день».

Таблица 4

Возможные исходы	1	2	3	4	Сумма
Частота	15	30	30	25	100
Вероятность р	0,15	0,3	0,3	0,25	1

Воспользовавшись данными таблицы 2, видим, что максимальный доход из этих двух наиболее вероятных исходов у решения «закупить три автомобиля» (30 против 20). Поэтому, руководствуясь максимаксным подходом и правилом максимальной вероятности, следует закупить три автомобиля.

Воспользовавшись данными таблицы 3, видим, что минимум наибольших возможных потерь для наиболее вероятных вариантов у решения «закупать два автомобиля» (20 против 40). Руководствуясь минимаксным подходом, по правилу наибольшей вероятности следует закупать два автомобиля.

Если пользоваться при принятии решения результатами оценки математического ожидания прибыли, следует для каждого варианта вычислить оценку этого математического ожидания по формуле:

(прибыль при i-м исходе) (вероятность i -го исхода),

после чего выбрать тот вариант, в котором будет наибольшее значение оценки математического ожидания прибыли.

Составим таблицы вычислений математического ожидания прибыли для всех четырех вариантов.

Таблица 5

Вариант 1 – закупать 1 автомобиль	Возможная прибыль х	Вероятность исходов р
	10	0.15	1,5
	10	0,30	3
	10	0,30	3
	10	0,25	2,5
	Сумма	1	10

Столбец «Возможная прибыль х» взят из столбца таблицы 2 возможных прибылей, соответствующего решению 1, столбец «Вероятность исходов р» - из таблицы 4. Строки третьего столбца формируются как произведения соответствующих ячеек двух предыдущих столбцов. Сумма ячеек третьего столбца дает оценку математического ожидания прибыли первого варианта (покупать один автомобиль).

Составим аналогичные таблицы для второго, третьего и четвертого вариантов решения.

Таблица 6

Вариант 2 – закупать 2 автомобиля	Возможная прибыль х	Вероятность исходов р
	-10	0.15	-1,5
	20	0,30	6
	20	0,30	6
	20	0,25	5
	Сумма	1	15,5

Таблица 7

Вариант 3 – закупать 3 автомобиля	Возможная прибыль х	Вероятность исходов р
	-30	0.15	-4,5
	0	0,30	0
	30	0,30	9
	30	0,25	7,5
	Сумма	1	12

Таблица 8

Вариант 4 – закупать 4 автомобиля	Возможная прибыль х	Вероятность исходов р
	-50	0.15	-7,5
	-20	0,30	-6
	10	0,30	3
	40	0,25	10
	Сумма	1	-0,5

Путем сравнения полученных результатов приходим к выводу, что для получения максимума математического ожидания прибыли следует выбрать второй вариант (15,5 единиц).

Аналогичная задача может решаться при минимаксном подходе для показателя «минимум возможных потерь». В этом случае в столбце вместо возможных прибылей, взятых из таблицы 2, следует разместить возможные потери из соответствующих столбцов таблицы 3 и выбрать вариант, обеспечивающих минимум математического ожидания возможных потерь.

Вопросы для самопроверки по разделу 5

1. Дайте определение синтеза системы.

2. Перечислите основные принципы синтеза логистических систем.

3. Назовите этапы проектирования логистических систем.

4. Сформулируйте понятие лучшего выбора. Изложите алгоритм лучшего выбора на основе теории бинарных отношений

5. Как связаны понятия цели, приоритета и компромисса при проектировании многокритериальных систем логистики?

6. Дайте определение Парето-оптимального множества и множества, оптимального по Слейтеру.

7. Перечислите методы решения многокритериальных задач в приложениях логистики.

8. В чем суть метода главного показателя?

9. В чем суть решения многокритериальных задач в приложениях логистики методом обобщенного показателя?

10. В чем суть метода максимина?

11. В чем суть метода пороговых показателей?

12. В чем суть метода последовательных уступок?

13. Перечислите схемы выбора и принятия решений в условиях неопределенности.