5.3. Методы решения многокритериальных задач в приложениях логистики

Методы решения многокритериальных задач подразделяются на две группы. При использовании методов первой группы стремятся сократить число показателей качества на исходном множестве альтернатив. Методы второй группы основаны на стремлении сократить число альтернатив в исходном множестве, исключая заведомо плохие альтернативы.

К методам первой группы относятся:

• метод главного показателя;

• метод обобщенного показателя (метод свертки);

• метод максимина;

• метод пороговых показателей;

• метод последовательных уступок;

• метод расстояний.

Метод главного показателя состоит в том, что из векторного показателя F=(F₁,F₂,…,F_m) выделяется один частный показатель F_i, называемый главным, а на остальные частные показатели F_j накладываются ограничения, например, ограничения вида , где - некоторый минимально допустимый требуемый уровень показателя F_j. В результате задача векторной оптимизации сводится к задаче скалярной оптимизации, т.е. число принимаемых во внимание показателей сокращается до одного.

,

где - та часть области компромисса , в которой выполняются условия .

В данном случае реализуется критерий оптимальности для одного частного показателя (главного показателя), а остальные удовлетворяют критерию пригодности. При этом одновременно уменьшается и число показателей (до одного, главного), и число рассматриваемых альтернатив (области компромисса) за счет введения ограничений на значения остальных показателей.

Такой подход, применяемый на практике для получения максимального целевого эффекта при заданных ограничениях на расход ресурсов (принцип максимизации эффекта) или для обеспечения минимального расхода ресурсов при заданных ограничениях на целевой эффект (принцип экономии ресурсов), не лишен серьезных недостатков, поскольку в нем не учитывается взаимная зависимость показателей. То, что эта зависимость имеет место, следует хотя бы из того, что величина целевого эффекта зависит от расхода ресурсов на его получение. Применение принципа главного показателя затруднено еще и тем, что на практике бывает трудно установить, какому показателю отдать предпочтение и какие пороговые значения для показателей назначить.

Идея метода обобщенного показателя состоит в том, что векторный показатель свертывается в один скалярный, называемый обобщенным показателем. Обобщенный показатель обычно представляют в виде средневзвешенного (арифметического, геометрического, гармонического, квадратического) показателя, в котором каждому частному показателю F_i приписывается определенный весовой коэффициент а_i. Средневзвешенный арифметический, средневзвешенный геометрический, средневзвешенный гармонический и средневзвешенный квадратический показатели представляются соответствующими выражениями:

;

;

;

.

Выбор способа усреднения определяется, в основном, удобством пользования средневзвешенным показателем. Заметим, что разные типы средневзвешенных показателей можно всегда свести к одному типу – средневзвешенному арифметическому показателю.

Процедура вычисления обобщенного показателя называется сверткой. Свертка в средневзвешенный арифметический показатель называется аддитивной, а в средневзвешенный геометрический – мультипликативной. Легко видеть, что если одному из показателей придать, например, единичный вес, а всем прочим – нулевой, мы получим метод главного показателя.

Обобщенный скалярный показатель в виде средневзвешенного показателя представляет собой искусственную форму обобщения. Определение весовых коэффициентов обычно осуществляется экспертными методами. Как бы ни квалифицированы были экспертные оценки, они всегда несут печать субъективизма. Устранить субъективизм и получить объективно оптимальное решение можно только в том случае, если удастся выявить объективно существующую аналитическую зависимость обобщенного скалярного показателя от частных показателей F_i, что удается весьма редко.

Обобщенный показатель может быть обоснованно использован для свертывания векторного показателя, если о его компонентах известна следующая информация:

• частные показатели соизмеримы по важности, т.е. каждому из них можно поставить в соответствие некоторое число , такое, что , которое численно характеризует его важность по отношению к другим показателям;

• частные показатели являются однородными, т.е. допускают количественные сравнения в одной размерности.

Недостатком средневзвешенного арифметического показателя является то, что эффективное решение, выбранное в качестве оптимально-компромиссного решения х, может оказаться неудовлетворительным по некоторым частным показателям F_k(х), т.е. при обеспечении максимума функции

может оказаться, что рост одного частного показателя качества достигается за счет других, которые могут оказаться неприемлемо малыми. Для исключения этого случая необходимо при постановке задачи оптимизации вводить дополнительные ограничения на неудовлетворительные показатели .

Особенностью применения обобщенного показателя является возможность возникновения неоднозначности в решении, когда несколько разных наборов частных показателей F=(F₁,F₂,…,F_m) в результате свертки могут дать одинаковые или близкие значения.

Метод максимина реализуется путем последовательного улучшения тех нормированных частных показателей, численные значения которых в исходном решении оказались наименьшими. Вследствие того, что эти операции проводятся в области компромисса, улучшение «отстающего» показателя неизбежно приводит к снижению значений остальных. Но при проведении нескольких последовательных улучшений можно добиться определенной степени уравнивания всех частных показателей, что и является целью метода максимина. Этот метод часто называют «методом гарантированного уровня». Его целесообразно применять в таких задачах векторной оптимизации, в которых аналитическая зависимость между показателями неизвестна.

Одной из модификаций метода максимина является метод пороговых показателей, при котором ограничения задаются на все частные показатели, а метод максимина применяется к наименьшему из полученных отношений . Такой подход оправдал себя в задачах обеспечения (удовлетворения), например, при проектировании и при планировании.

Метод последовательных уступок является итеративным методом. Сущность его состоит в том, что вначале все частные показатели F₁,F₂,…,F_m ранжируются по важности в порядке ее убывания F₁>F₂>…,>F_m. Затем максимизируется первый по важности показатель F₁(х) и определяется его максимальное значение М₁. после этого назначается величина допустимого снижения (уступки) е₁ первого показателя и в области компромисса ищется решение х, максимизирующее значение второго по убывающей важности показателя F₂(х) при условии, что значение первого показателя должно быть не меньше, чем М₁ - е₁. Затем назначается уступка е₂ второго показателя и максимизируется третий показатель F₃(х) при ограничениях , где М₂ – найденное на предыдущем шаге локально-максимальное значение второго показателя, и т.д.

Метод расстояний заключается в введении метрики (расстояния) в пространстве показателей F₁,F₂,…,F_m. Он применяется в тех случаях, когда исходной информации достаточно, чтобы определить «идеальное» (эталонное) решение, соответствующее абсолютному максимуму в пространстве показателей. Обозначим такое решение как x₀(F₀₁,F₀₂,…,F_0m). Отметим, что идеальное решение на практике недостижимо и определяется лишь теоретически. Введем для каждой альтернативы расстояние до точки абсолютного максимума d(x). Наилучшее решение в методе расстояний определяется как наиболее близкое к максимальному, минимизирующее расстояние d(x).

В качестве меры расстояния используются различные функции (метрики), обобщенно описываемые видом

,

или, с учетом весов показателей

.

При р=1 получаем расстояние Хемминга, при р=2 - евклидово расстояние, при - расстояние по максимальному значению, при - расстояние по минимальному значению.

Очевидно, что понятие расстояния может рассматриваться как один из видов свертки, называемой также агрегированием показателей. Выбор методов агрегирования из числа рассмотренных, или любых других, отражает представление лица, принимающего решение, о стратегии достижения цели. Ряд дополнительных стратегий и соответствующих им методов агрегирования представлен в таблице 1.

Таблица 1

Разновидность схемы агрегирования	Особенности схемы
	Решение принимается по «наихудшему» показателю. Стратегия пессимизма (наименьшего риска)
	Решение принимается по «наилучшему» показателю. Стратегия оптимизма (наибольшего риска)
	Стратегия является промежуточной между 1 и 2 стратегиями. Предпочтение отдается показателям, наибольшим по абсолютному значению.
, р – константа, регулирующая тип стратегии,	Стратегия, имеющая промежуточный характер между 1 и 2 стратегиями.
, С – константа, регулирующая тип стратегии,	Стратегия, сочетающая особенности стратегии 1 и 3.
	Стратегия типа 1 с учетом важности (веса) наихудшего показателя, требующая большей исходной информации
	Стратегия типа 2 с учетом важности (веса) наилучшего показателя, требующая большей исходной информации

Поясним порядок принятия решений на примере.

Пусть прорабатываются варианты создания малого автотранспортного предприятия, отличающиеся количеством единиц автомобилей, которые предполагается приобрести. Предполагаемое число автомобилей соответствует номеру варианта – от 1-го до 4-х.

Каждый автомобиль выполняет заказ на перевозку в течение одного рабочего дня. При этом он приносит доход в 30 условных единиц. Эксплуатация одного автомобиля, вне зависимости от того, выполняет он заказ или простаивает, обходится предприятию в 20 условных единиц. Известно, что предприятие может получить в день 1, 2, 3 или 4 заказа.

Сколько автомобилей выгоднее всего приобрести?

В таблице 2 приведены возможная прибыль предприятия за день.

Таблица 2

Число заказов в день	Варианты: число закупленных автомобилей
	1	2	3	4
1	10	-10	-30	-50
2	10	20	0	-20
3	10	20	30	10
4	10	20	30	40
Максимум прибыли F1	10	20	30	40
Минимум прибыли F2	10	-10	-30	-50

Поясним, как заполняется таблица. В ячейке (2,2) было закуплено 2 автомобиля, поступило 2 заказа в день. Поэтому возможная прибыль для этой ячейки: «общий доход» (30+30) – «общие затраты» (20+20)=20.

В ячейке (3,1) был закуплен 1 автомобиль, заказов поступило 3. Поэтому прибыль составила 30-20=10.

В ячейке (3,4) было закуплено 4 автомобиля, заказов поступило 3. прибыль для этого варианта (30+30+30) – (20+20+20+20)=10.

Таким образом, каждый выполненный заказ приносит прибыль (30-20)=10, а каждая простаивающая машина – убыток в -20.

Введем два показателя эффективности каждого варианта – максимум прибыли F₁ и минимум прибыли F₂. Представим двумерное пространство F₁(х)- F₂(х) , как это показано на рисунке 18.

Используя стратегию «пессимизма» (первая строка таблицы 1), или наименьшего риска, можно выбрать максиминное решение, максимизирующее минимально ожидаемую прибыль. Очевидно, это будет вариант 1, при котором показатель F₂ принимает значение 10.

Используя стратегию «оптимизма» (вторая строка таблицы 1), или наибольшего риска, следует выбрать максимаксное решение, направленное на достижение максимально возможной прибыли. Очевидно, это будет вариант 4, при котором значение показателя F₁ максимально и составляет 40.

Рис.18

Применяя другие стратегии, представленные в таблице 22, путем вычисления различных сверток показателей F₁ и F₂ можно получить иные предпочтения. В качестве примера рассмотрим минимаксное решение, направленное на минимизацию возможных потерь, причем упущенная выгода также трактуется как потери. Представим возможные потери автомобильного предприятия в виде таблицы 3.

Таблица 3

Число заказов в день	Варианты: число закупленных автомобилей
	1	2	3	4
1	0	20	40	60
2	10	0	20	40
3	20	10	0	20
4	30	20	10	0
Минимум максимума потерь	30	20	40	60

Поясним, как заполняется таблица 3.

В ячейке (2,2) предполагалось закупить два автомобиля, спрос предполагался равным двум заказам, т.е. соответствующим производственной мощности предприятия. Поэтому возможные потери для этой ячейки равны нулю.

В ячейке (3,1) для варианта закупки одного автомобиля рассмотрен вариант поступления трех заказов. Два заказа остались невыполненными. Их выполнение могло принести прибыль 10 единиц с каждого заказа. Поэтому совокупные потери составили 20 единиц.

В ячейке (3,4) при четырех закупленных автомобилях заказов поступило только три. Один автомобиль простаивал в течение дня, затраты на его содержание составили 20 единиц, что отнесено к убыткам (потерям).

Максимальное число каждого столбца помещено в строку минимакса потерь. Из анализа строки минимакса следует, что для минимизации возможного максимума потерь следует закупать два автомобиля.

Наряду с методами первой группы, использующими свертку в пространстве показателей, применяют методы второй группы, основанные на сужении множества альтернатив, в которых пытаются уменьшить число возможных вариантов решений, исключив заведомо плохие. Один из подходов, обладающий большой общностью, был предложен итальянским экономистом В.Парето в 1904 году. Метод Парето применяется, когда число альтернатив велико и альтернативы имеют противоречивые оценки по разным показателям. В этом случае прямое применение методов первой группы может привести к ненадежным решениям, и необходим неформальный анализ множества альтернатив. Для уменьшения числа альтернатив строят множество Парето, являющееся подмножеством исходного.

Пусть все свойства альтернатив имеют численную оценку F=(F₁(х),F₂(х),…,F_m(х)). В этом случае любой альтернативе может быть сопоставлена точка m- мерного пространства E_m, координаты которой есть значения соответствующих показателей. Будем, для определенности, считать, что чем больше значение i-го показателя, тем предпочтительнее данная альтернатива по i-му свойству.

Рассмотрим две произвольные альтернативы. Возможны две ситуации:

• одна альтернатива не хуже другой по всем показателям, т.е. , причем хотя бы одно неравенство выполняется как строгое;

• этого утверждать нельзя.

Первое условие – это естественное условие предпочтения альтернативы х₁ перед альтернативой х₂. таким образом, переход от х₁ к х₂ улучшает наш выбор. При подобном сравнении альтернатив возникает вопрос о том, существуют ли неулучшаемые альтернативы. Ответ на этот вопрос практически всегда положительный, для этого требуется лишь ограниченность значений показателей . Как правило, число неулучшаемых альтернатив меньше (зачастую значительно меньше) числа исходных альтернатив.

Множество неулучшаемых альтернатив называется множеством Парето для данной задачи. Таким образом, альтернатива принадлежит множеству Парето, если она не хуже других по всем критериям и хотя бы по одному критерию лучше. Альтернативы из множества Парето называются Парето-оптимальными решениями, эффективными или недоминируемыми (непревосходимыми) альтернативами.

При решении многокритериальных задач используется принцип Парето, согласно которому наилучшее решение следует выбирать среди альтернатив, принадлежащих множеству Парето. Этот принцип выполняется в большинстве практических случаев, когда альтернативы оцениваются по противоречивым показателям. Он позволяет сузить исходное множество альтернатив, причем окончательный выбор остается за лицом, принимающим решение.

Альтернативы, входящие в множество Парето, попарно несравнимы друг с другом, т.е. по одним показателям лучше одна альтернатива, по другим – другая и их невозможно улучшить одновременно по всем показателям. Анализ множества Парето позволяет лицу, принимающему решение, судить о том, какова цена увеличения одного из показателей и как это скажется на ухудшении остальных.

После того, как построено множество Парето, для отыскания на нем единственной компромиссной альтернативы применяются методы первой группы.