2.7 Лабораторная работа № 7

Использование корреляционного анализа при

установлении статистической связи между

социально-экономическими показателями

Цель работы: научиться определять и анализировать линейный коэффициент корреляции

Общие сведения

Корреляционный метод анализа является составляющим  элементом более общего метода количественного статистического анализа связей – корреляционно – регрессионного.

При этом корреляционно – регрессионный анализ как общее  понятие включает в себя измерение тесноты и направления связи (корреляционный анализ), а также установления аналитического выражения формы связи (регрессионный анализ).

Количественно  оценить тесноту и направление связи между двумя признаками   при парной корреляции можно посредством расчета линейного коэффициента корреляции.

Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.

Линейный    коэффициент корреляции имеет большое значение при исследовании социально - экономических явлений и процессов, распределение которых  близко к нормальному.

На практике применяются различные модификации формул для расчета,  данного коэффициента. Наиболее простой из них является зависимость вида

. (27)

Физическая интерпретация  значений коэффициента корреляции приведена в таблице 16.

Таблица16 - Оценка линейного коэффициента корреляции

Значение линейного коэффициента корреляции	Характер связи	Интерпретация связи
r = 0	Отсутствует	-
0 < r < 1	Прямая	С увеличением x увеличивается y
-1 < r < 0	Обратная	С увеличением x уменьшается y, и наоборот
r = 1	Функциональная	Каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t – критерия Стьюдента. При этом выдвигается и проверяется нулевая гипотеза (Н_о) о равенстве коэффициента корреляции нулю  [Н₀: r = 0]  При проверке этой гипотезы используется t - статистика.

(28)

Если расчетное значение (табличного), то гипотеза Н₀ отвергается, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции, а следовательно, и о статистической существенности зависимости между Х и У.

Примечание! Данный критерий оценки значимости применяется для совокупностей n < 50.

При большем числе наблюдений (n > 100) используется следующая  формула для определения t – статистики

. (29)

Пример. По исходным данным, приведенным в таблице17 рассчитать линейный коэффициент корреляции. Сделать выводы.

Таблица 17- Характеристика использования библиотечного фонда библиотек районных муниципальных образований Пензенской области в 2004 году

Районы Пензенской области	Фонд, тыс. экз, yi	Пользователи, тыс.чел, xi
Башмаковский	240,1	17,0
Беднодемьяновский	179,8	10,6
Бековский	178,5	10,8
Белинский	416,5	25,2
Бессоновский	181,6	15,3
Вадинский	193,8	7,0
Городищенский	268,4	19,0
Земетчинский	289,1	21,7
Иссинский	147,1	11,5
Каменский	246,4	16,2

Для удобства и наглядности промежуточных расчетов перестроим таблицу 17 к виду представленному в таблице 18.

Таблица18 – К расчету линейного коэффициента корреляции

Районы Пензенской области	Фонд, тыс. экз., yi	Пользователи, тыс. чел., xi
Башмаковский	240,1	17,0	4081,7	35,6	2,5
Беднодемьяновский	179,8	10,6	1905,9	2951,7	23,3
Бековский	178,5	10,8	1927,8	3094,7	21,4
Белинский	416,5	25,2	10495,8	33258,8	95,5
Бессоновский	181,6	15,3	2778,5	2759,4	0,0
Вадинский	193,8	7,0	1356,6	1626,5	71,1
Городищенский	268,4	19,0	5099,6	1174,4	12,7
Земетчинский	289,1	21,7	6273,5	3021,7	39,3
Иссинский	147,1	11,5	1691,7	7574,2	15,4
Каменский	246,4	16,2	3991,7	150,6	0,6
Сумма	2341,3	154,3	39602,7	55647,7	281,9

 Средняя арифметическая невзвешенная  определяется по зависимости

,

где x_i – i-ое значение показателя;

n – объем  статистической совокупности (для рассматриваемого примера n =10 –  число районных муниципальных образований).

Тогда  имеем

Далее в соответствии с зависимостью (27) определяем числитель

Дисперсия невзвешенная определяется по зависимости

.

Тогда  имеем

Средние квадратические  и отклонения  равны

Окончательно, линейный коэффициент корреляции равен

Физическая интерпретация численного значения линейного коэффициента корреляции приведена в таблице 19.

Таблица 19 -  Количественные критерии оценки тесноты связи

Величина коэффициента корреляции	Характер связи
До + - 0,3 + - 0,3…+ - 0,5 + - 0,5…+ - 0,7 + - 0,7…+ - 1,0	Практически отсутствует Слабая Умеренная Сильная

Сравнивая полученное значение линейного коэффициента корреляции с данными таблицы 19 можно сделать вывод о том, что  между библиотечным фондом  и количеством пользователей (читателей) существует сильная положительная связь. Однако данный вывод является предварительным, поскольку необходимо убедиться в статистической значимости рассчитанного коэффициента корреляции.

В соответствии с зависимостью (28) имеем

.

Критическое значение критерия Стьюдента можно определить либо по статистическим таблицам, приводимым в любом учебнике по статистке, либо с использованием статистической функции  СТЬЮДРАСПОБР табличного процессора MS Excel. Для условий рассматриваемого примера = 2,306.

Так как  (5,66 > 2,306) , то гипотеза Н₀ отвергается, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции, а, следовательно, и о статистической существенности зависимости между Х и У.

Для статистически значимого линейного коэффициента корреляции необходимо  построить его интервальные оценки.  Для этого используется Z - распределение Фишера. В данном случае первоначально строится интервальная оценка Z – распределения по зависимости

, (29 а)

где функция определяется либо по статистическим таблицам, либо с помощью функции ФИШЕР табличного процессора MS.

Для условий рассматриваемого примера .

Значение параметра  в зависимости (29 а)  для уровня значимости равного 0,05 принимается равным  1,96.

Тогда в соответствии с зависимостью (29 а) имеем  

или

Выполняя обратное преобразование Фишера, с помощью статистической функции ФИШЕРОБР,   окончательно получим  интервальные оценки найденного линейного коэффициента корреляции.

Вывод. Установлена статистически значимая сильная положительная связь между библиотечным фондом библиотек районных муниципальных образований Пензенской области и количеством пользователей (читателей).

Порядок выполнения работы

Используя официальные статистические данные выбрать два массива данных, связанных друг с другом на физическом уровне и рассчитать:

1) линейный коэффициент корреляции;

2) проверить значимость коэффициент корреляции; при определении критического значения – статистики Стьюдента воспользоваться функцией СТЬЮДРАСПОБР;

3) рассчитать доверительный интервал полученного коэффициента корреляции; при определении параметра воспользоваться функцией ФИШЕР, а для нахождения коэффициента корреляции на границах доверительного интервала воспользоваться функцией ФИШЕРОБР.

Примечание 1. При формировании массивов данных необходимо использовать пространственные (перекрестные) данные – статистические данные по каким-либо социально–экономическим показателям, относящиеся к одному и тому же моменту времени и полученные, как правило, примерно в одинаковых условиях.

Примечание 2. Не использовать данные временных рядов!!!

Примечание 3. Третий пункт выполнять только в случае если установлена статистическая значимость линейного коэффициента корреляции.

Контрольные вопросы

1. При каком значение коэффициента корреляции наблюдается наиболее тесная связь?

2. При каком значение коэффициента корреляции наблюдается обратную связь между признаками?

3. При каком значение коэффициента корреляции наблюдается прямая связь между признаками?

4. Для изучения чего используется корреляционный анализ?

5. Что определяет частный коэффициент корреляции?

6. Какие значения может принимать частный коэффициент корреляции?

7. Какие значения может принимать множественный коэффициент корреляции?

8. Что позволяет определить корреляционный анализ?