1.2.4. Метод искусственного базиса

Не всякая задача ЛП может быть решена непосредственным применением симплекс-метода. Для этого требуется, чтобы система фазовых ограничений содержала единичный базис, а целевая функция была выражена через свободные переменные.

Поэтому, в общем случае для решения задачи ЛП, после ее приведения к канонической форме необходимо приведение ограничений к единичному базису, это возможно когда фазовые ограничения имеют предпочтительный вид.

Говорят, что ограничение задачи ЛП, имеет предпочтительный вид, если при неотрицательной правой части левая часть ограничений содержит переменную, входящую с коэффициентом, равным единице, а в остальные ограничения равенства - с коэффициентом, равным нулю.

Пусть система ограничений имеет вид

.

Сведем задачу к каноническому виду. Для этого прибавим к левым частям неравенств дополнительные переменные . Получим систему, эквивалентную исходной:

,

которая имеет предпочтительный вид

.

В целевую функцию дополнительные переменные вводятся с коэффициентами, равными нулю , .

Рассмотрим другой случай, когда система ограничений имеет вид

.

Сведём её к эквивалентной вычитанием дополнительных переменных из левых частей неравенств системы. Получим систему

.

Однако теперь система ограничений не имеет предпочтительного вида, так как дополнительные переменные входят в левую часть (при ) с коэффициентами, равными –1. Поэтому базисный план не является допустимым.

В этом случае вводится так называемый искусственный базис.

К левым частям ограниче­ний-равенств, не имеющих предпочтительного вида, добав­ляют искусственные переменные , .

В целевую функцию эти переменные , вводят с коэффициентом -М, где М - большое положительное число. Полученная задача называется М-задачей, соот­ветствующей исходной. Она всегда имеет предпочти­тельный вид.

Пусть исходная задача ЛП имеет вид (1.1)-(1.3), причём ни одно из ограничений не имеет предпочтительной переменной. М-задача запишется так:

	(1.35)
	(1.36)
	(1.37)

Задача (1.35) - (1.37) имеет предпочтительный план. Её начальный опорный план имеет вид

Если некоторые из уравнений (1.1) имеют предпочтительный вид, то в них не следует вводить искусственные переменные.

Теорема.

Если в оптимальном плане

(1.38)

М-задачи (1.35) - (1.37) все искусственные переменные , то план является оптимальным планом исходной задачи (1.1)-(1.3).

Для того чтобы решить задачу с ограничениями, не имеющими предпочтительного вида, вводят искусственный базис и решают М-задачу, которая имеет начальный опорный план

Решение исходной задачи симплексным методом путем введения искусственных переменных называется сим­плексным методом с искусственным базисом.

Если в результате применения симплекс-метода к расширенной М-задаче получен оптимальный план, в кото­ром все искусственные переменные , то его первые n компонент дают оптимальный план исходной задачи.

Теорема. Если в оптимальном плане М-задачи хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то исходная задача не имеет допустимых планов, т. е. ее условия несовместны.

Продолжение примера 1. Решение задачи о диете.

В примере 1 была составлена задача о диете (1.4)-(1.6) и она приведена к канонической форме (1.7)-(1.9). При этом ни одно из уравнений фазовых ограничений (1.8) не имеет предпочтительной формы, поэтому необходимо составить и решить М-задачу.

М-задача запишется так:

	(1.39)
	(1.40)
	(1.41)

Выразим ЦФ через свободные переменные . Для вычисления сложим все уравнения фазовых ограничений: или

.

Откуда следует

,

поэтому ЦФ (1.39) запишется в виде:

(1.42)

Приведя подобные коэффициенты при свободных переменных , получим ЦФ

(1.43)

Решим задачу ЛП (1.40), (1.41), (1.43) с помощью симплекс-метода, взяв в качестве базисных переменных искусственные переменные .

Решение, оформленное с помощью MS Excel, приведено ниже на рис.1.10-1.12. Существенным отличием от симплекс-таблиц, приведенных ранее, является выделение двух строк для записи ЦФ. Коэффициенты в ЦФ имеют вид . Первая строка содержит множители, стоящие перед постоянной М, т.е. , вторая строка . Обе строки будем преобразовывать по тем же правилам, что и остальные строки.

Поскольку сколь угодно большое положительное число, очевидно, что знак коэффициента полностью определяется знаком . Это определяет ход решения М-задачи:

1. сначала избавляемся от отрицательных коэффициентов в первой строке ЦФ (в таблицах эта строка помечена буквой «М»);

2. далее избавляемся от отрицательных коэффициентов во второй строке ЦФ (в таблицах эта строка помечена буквой «1»), при условии, что в этом столбце строки «М» содержится ноль.

Результат решения задачи после третьей итерации приведен на рис.1.12 в диапазоне ячеек A33:J39. Целевая функция имеет вид

(1.44)

Очевидно, что дальнейшее увеличение ЦФ может быть достигнуто за счет ввода в базис, поскольку при достаточно больших М коэффициенты при отрицательны.

Результат решения задачи после четвертой итерации приведен на рис.1.12 в диапазоне ячеек A41:J47. Целевая функция имеет вид

(1.45)

Очевидно, что все коэффициенты при свободных переменных отрицательны, при достаточно больших М. Оговорка относительно М существенна, поскольку коэффициент при будет отрицательным, когда М, например, больше 1. Таким образом, решение М-задачи получено, а значение ЦФ функции равно -150.

Поскольку в оптимальном плане М-задачи все искусственные переменные , то, в соответствие с теоремой, план

является оптимальным планом исходной задачи (1.4)-(1.6).

Таким образом, оптимальным решением задачи о диете является план, который предусматривает покупку кормов только второго вида в количестве 75 единиц, стоимость диеты равна 150 у.е. При этом перекорм по питательному веществу B равен 75 единиц, а по питательному веществу C равен 17.5 единиц, по питательному веществу A перекорма нет.

Рис.1.10. Решение М-задачи (начало)

Рис.1.11. Решение М-задачи (продолжение).

Рис.1.12. Решение М-задачи (окончание).