1.2. Симплекс-метод

1.2.1. Геометрическая интерпретация

Геометрическое истолкование симплекс-метода наиболее просто может быть проиллюстрировано в случае двух переменных.

Положение 1.

Каждое неравенство с двумя переменными x₁ и x₂ определяет полуплоскость в системе координат x₁ 0 x₂.

Положение 2.

В случае, когда задана система неравенств

(1.10)

то она определяет многоугольную область D на плоскости, которая является результатом пересечения m полуплоскостей. Область D называется областью решений системы неравенств. Область D может быть ограниченной, неограниченной или пустой. Область решений D обладает важным свойством – она является выпуклой.

Определение 1. Область называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя точками содержит весь отрезок их соединяющий.

Определение 2. Прямая называется опорной по отношению к области, если:

1. имеет с областью по крайней мере одну общую точку;

2. вся область лежит по одну сторону от этой прямой.

Положение 3. Пусть задана линейная функция

(1.11)

Для каждой точки плоскости в системе координат x₁ 0 x₂. функция F принимает фиксированное значение F=F₁.

Определение 3. Множество точек, в которых функция двух переменных принимает фиксированное значение, называется линией уровня.

Линия уровня для линейной функции – прямая, которая определяется уравнением . Придавая F₁ различные значения, получим различные линии уровня.

Все линии уровня (для линейной функции) параллельны между собой.

Нормаль к линии уровня определяется через градиент функции. Градиент произвольной функции двух переменных f(x_1,x₂) может быть вычислен по формуле

,

(1.12)

поэтому градиент линейной функции определяется уравнением , т.е. градиент может быть задан вектором , выходящим из начала координат.

Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.

Положение 4. Графическое решение задачи ЛП, определяемой фазовыми ограничениями (1.10), естественными ограничениями и целевой функцией (1.11), основано на мысленном эксперименте по перемещению линии уровня относительно области допустимых решений D. Область допустимых решений D задачи ЛП – это множество точек, координаты которых удовлетворяют фазовым и естественным ограничениям. Допустим, множество D ограничено. Пусть при движении прямой F₁ в положительном направлении вектора она впервые встретится с многоугольником решений в его вершине, тогда в этом положении прямая F₁ становится опорной, и на этой прямой функция F принимает наименьшее значение. При дальнейшем движении в том же направлении прямая F₁ пройдет через другую вершину многоугольника решений (выходя из области решений), и станет также опорной прямой; на ней функция F принимает наибольшее значение среди всех значений, принимаемых на многоугольнике решений.

Таким образом, максимизация линейной функции на многоугольнике решений достигается в точке пересечения этого многоугольника с опорными прямыми, перпендикулярными вектору .

Положение 5. Существование решения и количество решений задачи ЛП основано на анализе взаимного расположения области допустимых решений D и линии уровня.

Если область D ограничена, то возможны два варианта:

А) опорная прямая имеет с многоугольником одну общую точку – одно решение;

Б) опорная прямая параллельна стороне многоугольника (на которой достигается максимум) – множество решений (вся сторона многоугольника).

Если область D не ограничена, то возможны три варианта:

А) опорная прямая имеет с многоугольником одну общую точку – одно решение;

Б) опорная прямая параллельна стороне многоугольника (на которой достигается максимум) – имеется множество решений;

В) не существует опорной прямой (в направлении роста функции) - множество решений пусто (нет решений).

Пример 2.

Решить графически задачу ЛП (1.13)-(1.15).

	(1.13)
	(1.14)
	(1.15)

Решение

Построим область допустимых решений.

Первое неравенство системы (1.14) задает полуплоскость, границей которой является прямая y₁, определяемая равенством . Построим эту прямую на координатной плоскости x₁ 0 x₂ (рис.1.1), искомой полуплоскостью (она заштрихована) будет, та, которая лежит выше этой прямой.

Второе неравенство задает полуплоскость, границей которой является прямая y₂, определяемая равенством . Также построим прямую y₂ на координатной плоскости и заштрихуем соответствующую полуплоскость.

Аналогично построим полуплоскости, соответствующие неравенствам три и четыре, их границы y₃ и y₄, определяются уравнениями и соответственно.

Пересечение этих четырех плоскостей и плоскостей естественных ограничений определяют область допустимых решений D.

Рис. 1.1

Построим вектор-градиент из начала координат. Проведем линию перпендикулярно вектору . Линия F1, проходящая через начало координат, соответствует значению 1, поскольку . Мысленно сдвинем линию уровня в направлении вектора . Первое касание многоугольника D соответствует положению F3. Эта линия является опорной, и ей соответствует минимальное значение, которое достигается на множестве допустимых решений. Продолжим движение линии уровня до выхода из множества D. Этому положению соответствует положение F7. Рассмотрим крайнюю точку M, которая является точкой пересечения прямых y₃ и y₄, ее координаты можно определить как решение линейной системы.

Решением системы является пара чисел x₁=4 x₂=2. Этому решению соответствует искомое максимальное значение линейной функции

.

Таким образом, F_max=7 при x₁=4 x₂=2.

Вывод. В данном случае линейная функция достигает своего максимального значения в вершине множества решений.

Пример 3.

Решить графически задачу ЛП (1.16) – (1.18).

	(1.16)
	(1.17)
	(1.18)

Решение

Заметим, что система фазовых ограничений (1.17) совпадает с системой (1.14). Поэтому область допустимых решений D будет той же самой, что и в примере 2 (рис.1.2).

Построим вектор-градиент из начала координат. Проведем линию перпендикулярно вектору . Линия F1, проходящая через начало координат, соответствует значению 1, поскольку . Мысленно сдвинем линию уровня в направлении вектора . Первое касание многоугольника соответствует положению F3 . Эта линия является опорной, и ей соответствует минимальное значение, которое достигается на множестве допустимых решений. Продолжим движение линии уровня до выхода из множества D,. этому положению соответствует положение F8 . Заметим, что линия уровня параллельна стороне MN, поэтому решением является множество точек лежащих между крайними точками M и N, Точка M является точкой пересечения прямых y₃ и y₄, ее координаты можно определить как решение линейной системы.

Решением этой системы является пара чисел x₁=4, x₂=2. Эта пара чисел определяет координаты точки М и в ней достигается искомое максимальное значение линейной функции, равное

.

Таким образом, F_max=9, при x₁=4, x₂=2.

Точка N является точкой пересечения прямых y₁ и y₄; ее координаты можно определить как решение линейной системы

Рис.1.2

Решением полученной системы является пара чисел x₁=2/9, x₂=35/9, которые определяют координаты точки N, значение целевой функции в которой равно

.

Таким образом, значение в точке N совпадает со значением в точке M. F_max=9, при x₁=2/9, x₂=35/9.

Координаты всех точек, лежащих между M и N можно записать в виде

Значение функции во всех этих точках равно 9.

Вывод. В данном случае линейная функция достигает своего максимального значения во всех точках ребра MN множества решений D.

Пример 4.

Решить графически задачу ЛП (1.19) – (1.21).

	(1.19)
	(1.20)
	(1.21)

Решение.

Построим область допустимых решений D (рис. 1.3).

Построение области аналогично примеру 2, но в этом построении отсутствует прямая y₄.

Пересечение трех полуплоскостей с учетом естественных ограничений определяет неограниченную область допустимых решений D.

Рис. 1.3

Построим вектор-градиент из начала координат. Проведем линию перпендикулярно вектору– . Линия F1, проходящая через начало координат, соответствует значению 1, поскольку .

Мысленно сдвинем линию уровня в направлении вектора  . Первое касание многоугольника соответствует положению F3. Эта линия является опорной, и ей соответствует минимальное значение, которое достигается на множестве допустимых решений. Заметим, что многогранник незамкнут в направлении роста целевой функции, поэтому целевая функция не имеет максимума. Это объясняется тем, что для любой линии уровня найдется другая линия уровня, лежащая в направлении вектора , которой соответствует большее значение функции.

Вывод. Целевая функция не ограничена, если многогранник незамкнут в направлении роста целевой функции.

Пример 5.

Решить графически задачу ЛП (1.22) – (1.24).

	(1.22)
	(1.23)
	(1.24)

Решение

Построим область допустимых решений D (рис. 1.4), она совпадает с областью в примере 3.

Заметим, что вектор-градиент направлен в противоположную сторону (по сравнению с рис. 1.3). Максимум достигается в единственной точке Р, являющейся точкой пересечения оси x₁ и прямой y₂.

Рис. 1.4

Координаты точки Р можно определить, решив систему уравнений:

Ее решение x₁=2, x₂=0, значение функции в этой точке равно

Вывод. Задача ЛП имеет решение, когда многогранник замкнут в направлении роста целевой функции.

Рассмотренные примеры иллюстрируют четыре варианта Положения 5.