Пример.
Имеется три карьера, производящие строительные материалы и четыре потребителя строительных материалов. Известны объемы производства на каждом карьере (запасы), потребности в их продукции каждого из потребителей (рис.3.3). Стоимость перевозки 1 т продукции с i –го карьера j -му потребителю задана той же таблицей. Определить, при каких объемах грузоперевозок суммарная стоимость перевозок будет минимальной.
Р
ис.3.3.
Исходные данные
транспортной задачи
Решение.
Построим математическую модель данной задачи.
Вычислим суммарные
запасы :
и
суммарные потребности:
.
Поскольку
суммарные запасы и суммарные
потребности равны
,
то это задача закрытого типа.
Построим опорное решение методом «северо-западного» угла.
Для этого заполним ячейку (1,1). Занесем меньшее из чисел a1 и b1, т.е. x11 = min{a1; b1}= min{90;30} =30 и т.д. (рис.3.4).
В
результате имеем таблицу с шестью
заполненными клетками, что соответствует
теории: m+n-1 =3+4-1=6.
Рис.3.4. Опорное решение, построенное методом «северо-западного» угла.
Заметим, что суммарная стоимость перевозок равна
.
Рассчитаем систему потенциалов для этого решения.
Для определения
;
имеем следующую систему уравнений:
Имеем 6 уравнений и 7 неизвестных. Значение одной из неизвестных величин (любой !) можно задать произвольным образом (любое число). Положим U3 равным 0. Тогда остальные величины будут равны:
U1=1, U2= -1, V1= 8, V2= 7, V3= 4, V4= 6.
Припишем значения потенциалов соответствующим строкам и столбцам. Введем дополнительный столбец Ui и дополнительную строку Vj (рис.3.5) и занесем вычисленные значения потенциалов в полученные клетки.
Рис. 3.5. Транспортная таблица с вычисленными значениями потенциалов
Вычислим значения невязок для всех клеток без перевозок по формуле (3.7). Запишем их в правый верхний угол каждой клетки (жирный курсив). В ряде клеток (2,1), (2,3), (2,4) и (3,1) наблюдаются нарушения (невязки больше нуля). Выберем клетку (2,4), в которой наблюдается наибольшее превышение, равное 4. Построим замкнутый цикл с началом в этой клетке. В качестве остальных вершин выберем клетки (3,4), (3,2) и (2,2). Пронумеруем клетки (рис.3.4).
Нечетные вершины (2,4) и (3,2) образуют положительную полуцепь. Четные вершины (3,4) и (2,2) образуют отрицательную полуцепь. Величина q = min{90;130}=90.
Вычислим новые значения для узлов контура. В четных вершинах значения уменьшаются на q=90, в клетке (2,2) значение перевозки станет равным 90-q = 0; в клетке (3,4) - равным 130 -q = 130-90 = 40. В нечетных вершинах значения увеличатся на q=90, так в клетке (3,4) значение равно 0+q=0+90=90, а в клетке (3,2) значение равно 50+q=50+90=140.
Получим новое опорное решение (рис.3.6).
Рис. 3.6
Вычислим суммарную стоимость перевозок для полученного опорного плана:
.
Уменьшение стоимости перевозок по сравнению с начальным планом составило F0 - F1=2700 - 2340= 360.
Теоретически это уменьшение равно ( q умножить на соответствующее превышение), т.е. те же 360 (произведение 90 на 4).
Рассчитаем новую систему потенциалов.
Для определения
;
имеем следующую систему уравнений:
Имеем 6 уравнений и 7 неизвестных. Значение одной из неизвестных величин (любой !) можно задать произвольным образом (любое число). Положим U3 равным 0 . Тогда остальные величины будут равны
U1=1, U2=3, V1=8, V2=7, V3=4, V4=6.
Припишем значения потенциалов соответствующим строкам и столбцам в столбец Ui и строку Vj (рис.3.6).
Вычислим значения невязок для всех клеток без перевозок по формуле (3.7). Запишем их в правый верхний угол каждой клетки (жирный курсив). В одной клетке (3,1) наблюдается нарушение (невязка равна 3, т.е. больше нуля). Построим замкнутый цикл с началом в этой клетке. В качестве остальных вершин выберем клетки (1,1),(1,2) и (3,2). Пронумеруем клетки (рис. 3.6).
Нечетные вершины (3,1) и (1,2) образуют положительную полуцепь. Четные вершины (1,1) и (3,2) образуют отрицательную полуцепь. Величина q = min{30;140}=30.
Вычислим новые значения для узлов контура.
В четных вершинах значения уменьшается на q=30: в клетке (1,1) значение перевозки станет равным 30-q=0; в клетке (3,2) - равным 140 - q=140-30=110.
В нечетных вершинах значения увеличатся на q: в клетке (3,1) значение станет равным 0+q=0+30=30, а в клетке (1,2) 60+q=60+30=90.
Получим новое опорное решение (рис.3.7).
Рис.3.7
Вычислим суммарную стоимость перевозок для вновь полученного опорного плана:
.
Уменьшение стоимости перевозок по сравнению с предыдущим планом составило F1 -F2 = 2340 – 2250 = 90.
Теоретически это уменьшение равно (q умножить на соответствующее превышение), т.е. те же 90 (произведение 30 на 3).
Рассчитаем очередную систему потенциалов для полученного опорного решения. Для определения ; имеем следующую систему уравнений:
Имеем 6 уравнений и 7 неизвестных. Положим U3 = 0 , тогда остальные величины будут равны
U1=1, U2=3, V1=5, V2=7, V3=4, V4=6.
Запишем значения потенциалов соответствующим строкам и столбцам в столбец Ui и строку Vj (рис. 3.6).
Вычислим значения невязок для всех клеток без перевозок по формуле (3.7). Все невязки неположительны, следовательно, оптимальное решение найдено.