3.1. Постановка задачи. Основные формулы

Частным случаем задачи ЛП является транспортная задача-задача о планировании перевозки грузов. Она может быть сформулирована следующим образом.

Пусть имеется m поставщиков однородного груза. Запасы его у каждого из поставщиков равны a_i (i=1,2,…m) единиц соответственно. Также существует n потребителей , j - потребитель имеет потребность в грузе b_j (j=1,2,…n). Пусть стоимость перевозки единицы груза от i-го поставщика j-му потребителю равна c_ij. Требуется определить план перевозок (объемы грузоперевозок от i-го поставщика j-му потребителю) таким образом, чтобы все запасы были вывезены, потребности в грузе удовлетворены и суммарная стоимость перевозок была минимальной.

Транспортная задача может быть открытого или закрытого типа. Если суммарный объем запасов равен суммарной потребности, т.е. , то эта задача – закрытого типа. Если это равенство не выполняется, то эта задача –  открытого типа. Любая задача открытого типа может быть сведена к задаче закрытого типа путем введения фиктивного поставщика (если ) или фиктивного потребителя (если ). Стоимости всех фиктивных перевозок полагаются равными нулю.

Составим математическую модель транспортной задачи закрытого типа.

Обозначим через x_ij объем грузоперевозок от i -го поставщика j -му потребителю. Тогда целевая функция может быть определена соотношением :

                                     (3.1)

где: F - суммарная стоимость всех перевозок.

Требование о вывозе груза у всех поставщиков порождает следующие фазовые ограничения:

,        (3.2)

а требование об удовлетворении потребностей в грузе всех потребителей порождает такие фазовые ограничения:

  .     (3.3)

Соотношения

            (3.4)

являются естественными ограничениями.

Заметим, что транспортная задача, определяемая соотношениями (3.1) - (3.4), содержит   подлежащих определению переменных.

Транспортная задача (ТЗ) является частным случаем задачи ЛП и может быть решена симплекс-методом. Специфический характер ТЗ позволяет использовать для решения специальные таблицы – транспортные таблицы. Пример такой таблицы приведен на рис.3.1.

3.2. Решение транспортной задачи

Решение получается путем преобразования транспортной таблицы по определенным правилам.

Решение строится в два этапа:

• на первом этапе отыскивается исходное опорное решение;

• на втором этапе методом последовательных итераций ищется оптимальное решение.

3.2.1. Определение исходного опорного решения

Исходное опорное решение может быть построено различными методами. Простейшим из них является метод «северо-западного» угла. В нем клетки транспортной таблицы заполняются, начиная с верхнего левого угла таблицы (клетка 1,1), двигаясь далее по строке вправо, или по столбцу вниз.

Р ис.3.1

В первую клетку (1,1) занесем значение:

• Если a₁ > b₁, то x₁₁=b₁ и потребности первого потребителя удовлетворены полностью, это позволяет закрыть первый столбец. Двигаемся далее по первой строке. Для этого в клетку (1,2) записываем меньшее из чисел a₁- b₁ и b₂, , т.е. x₁₂ = min{ a₁-b₁ ; b₂ }.

• Если a₁<b₁ , то x₁₁ = a₁ и запасы первого поставщика вывезены полностью, и закрываем первую строку. Двигаемся далее по первому столбцу. Для этого в клетку (2,1) записываем меньшее из чисел b₁-a₁ и a₂ , т.е. x₂₁ = min{ b₁-a₁; b₂ } _.

Далее двигаемся от клетки к клетке, пока на каком-то этапе не исчерпаются ресурсы и потребности.

В результате этой процедуры m+ n -1 клеток будут иметь перевозки, остальные – будут пустыми.

Достоинством метода «северо-западного» угла является его простота, недостатком – его «удаленность» от оптимального решения (т.е. при построении оптимального решения требуется большее количество шагов – итераций), поскольку при его построении не учитываются цены перевозок. Этого недостатка лишены другие методы, например, наименьших стоимостей и двойного предпочтения.