2.2. Изменение оптимального плана выпуска при изменении величин прибыли и запасов ресурсов

Большое значение в экономическом анализе результата решения играет понятие структуры решения. Рассмотрим это понятие и связанные с ним эффекты подробнее.

Если набор значений величин {a_ij, b_i c_j i=1,...,m; j=1,...,n} зафиксирован, то этому набору соответствует некоторый оптимальный план X=(x₁,x₂, …,x_n), назовем этот план базовым. Среди этих значений есть ряд ненулевых значений (т.е. эти виды продукции выпускать выгодно) и, возможно, часть нулевых (эти виды продукции выпускать не выгодно). Обратим внимание, что понятия «выгодно-невыгодно» имеют смысл только при конкретном соотношении между нормами расхода при производстве, величинами прибыли и величинами запасов ресурсов. Нормы расхода при данной технологии, как правило, не меняются.

Сначала рассмотрим влияние изменения величины прибыли.

Для этого воспользуемся геометрической интерпретацией задачи ЛП. Поскольку изменение величины прибыли (коэффициентов целевой функции) не оказывает влияния на фазовые и естественные ограничения, многогранник допустимых решений не изменится. Малые изменения коэффициентов целевой функции приводят к небольшому повороту градиента и линий уровня относительно первоначального положения. Положение вершины, соответствующей оптимальному плану, в которой линия уровня касается многогранника допустимых решений, также не изменится. Т.е. значение целевой функции изменится, но значения переменных, при которых этот оптимум достигается, не изменятся (рис.2.1). Существенное изменение коэффициента целевой функции приводит к существенному повороту градиента (линии уровня), и оптимальное решение будет достигаться в другой точке многогранника допустимых решений.

Рис.2.1 Влияние изменения коэффициента целевой функции на положение точки оптимума.

D - область допустимых решений;

- градиент, определяемый базовым набором коэффициентов; оптимальному положению соответствует вершина N и линия уровня ;

- градиент, соответствующий малому изменению базового набора коэффициентов; оптимальному положению соответствует та же (что и в базовом) вершина N и линия уровня ;

- градиент, соответствующий существенному изменению базового набора коэффициентов; оптимальному положению соответствует другая вершина M и линия уровня .

Из приведенных рассуждений следует, что оптимальное решение может измениться как при увеличении коэффициента С₁, так и при его уменьшении. Очевидно, что существует граница между несущественным уменьшением (когда вершина, соответствующая оптимальному плану, остается той же самой) и существенным уменьшением (когда вершина, соответствующая оптимальному плану, изменяется). Эта граница называется допустимым уменьшением и обозначается L₁ . Аналогично, существует граница между несущественным увеличением и существенным увеличением. Эта граница называется допустимым увеличением и обозначается U₁ .

Допустимое увеличение показывает, на сколько можно увеличить соответствующий коэффициент целевой функции (при условии постоянства остальных) без изменения оптимального плана. Аналогично, допустимое уменьшение показывает, на сколько можно уменьшить соответствующий коэффициент целевой функции (при условии постоянства остальных) без изменения оптимального плана.

Зная величины L₁ и U₁, можно построить интервал, в котором структура решения сохраняется. Нижняя граница этого интервала c₁-L₁, верхняя граница c₁+U₁.

Эти рассуждения можно провести для каждого вида продукции и построить для них интервалы, в которых структура решения сохраняется.

Рассмотрим влияние изменения количества ресурса.

Геометрический смысл изменения количества ресурса заключается в том, что соответствующая граница многогранника допустимых решений перемещается параллельно сама себе (рис.2.2). Это приводит к тому, что координаты точки, соответствующей оптимальному плану, меняются. При небольших изменениях количества ресурса координаты точки, соответствующей оптимальному плану, определяются пересечением того же набора прямых (гиперплоскостей), что и в базовом решении. При значительных изменениях количества ресурса, координаты точки, соответствующей оптимальному плану, определяются пересечением других прямых (гиперплоскостей). Допустимое увеличение показывает, на сколько можно увеличить количество соответствующего ресурса (при условии постоянства остальных), без изменения набора прямых, определяющих координаты точки, соответствующей оптимальному плану. Аналогично, допустимое уменьшение показывает, на сколько можно уменьшить количество соответствующего ресурса (при условии постоянства остальных), без изменения набора прямых, определяющих координаты точки, соответствующей оптимальному плану.

Рис. 2.2. Влияние изменения количества ресурсов на положение точки оптимума.

Рассмотрим рис.2.2:

Y₁,Y₂,Y₃ – прямые, соответствующие фазовым ограничениям;

D – область допустимых решений; определяется естественными и фазовыми ограничениями;

- градиент, определяемый набором коэффициентов целевой функции.

Случай I. Y₁(b₁) – базовое положение прямой, определяемое уравнением

(*),

при а₁₂0; уравнение следует из ограничения а₁₁х₁+а₁₂х₂b_1. Оптимальному плану соответствует вершина N, которая определяется как точка пересечения прямых Y₁ и Y₂. L(0) – соответствующая линия уровня. На рис. 2.2А область допустимых решений обозначена одинарной и двойной штриховкой. Содержательно (в задаче распределения ресурсов) эта ситуация означает, что «узким местом» является количество ресурсов первого и второго вида, т.е. эти ресурсы закончатся в первую очередь. Другими словами, эти виды ресурсов будут лимитирующими.

Случай II. Малое изменение b₁ величины ресурса b₁; Y₁(b₁₊b₁) – положение прямой, определяемое уравнением

(**),

при а₁₂0. Это уравнение следует из ограничения , которое соответствует изменению величины ресурсов на b₁. Сравнивая уравнения (*) и (**), заключаем, что прямые параллельны (из равенства коэффициентов при х₁). Оптимальному плану соответствует вершина N₁, которая является точкой пересечения прямых Y₁ и Y₂. L(b₁) – соответствующая линия уровня. На рис. 2.2А область допустимых решений обозначена двойной штриховкой. Эта ситуация соответствует тому, что «узким местом» по-прежнему остается количество ресурсов первого и второго вида.

Случай III. Существенное изменение b₂ величины ресурса b₁;  Y₁(b₁₊b₁)  положение прямой, определяемое уравнением

(***),

при а₁₂0. Прямая Y₁(b₁₊b₂) параллельна прямым Y₁(b₁) и Y₁(b₁₊b₁). Сравнивая уравнения (*), (**) и (***), заключаем, что прямые параллельны (из равенства коэффициентов при х₁). Оптимальному плану соответствует вершина N₂, которая является точкой пересечения прямых Y₁ и Y₃. L(b₂) – соответствующая линия уровня.

На рис. 2.2B область допустимых решений обозначена двойной штриховкой. Эта ситуация означает, что «узким местом» теперь становится количество ресурсов первого и третьего вида.

Из приведенных рассуждений следует, что лимитирующие виды ресурсов могут измениться как при увеличении коэффициента b₁, так и при его уменьшении. Очевидно, что существует граница между несущественным уменьшением и существенным уменьшением. Эта граница называется допустимым уменьшением и обозначается l₁ . Аналогично, существует граница между несущественным увеличением и существенным увеличением. Эта граница называется допустимым увеличением и обозначается u_1.

Допустимое увеличение показывает, насколько можно увеличить количество ресурса первого вида b₁ (при условии постоянства остальных) без изменения лимитирующих видов ресурсов. Аналогично, допустимое уменьшение показывает, насколько можно уменьшить количество ресурса первого вида b₁ (при условии постоянства остальных) без изменения лимитирующих видов ресурсов.

Зная величины l₁ и u₁, можно построить интервал, в котором лимитирующие виды ресурсов сохраняются. Нижняя граница этого интервала: c₁-l₁, верхняя граница: c₁+u₁ .

Эти рассуждения можно провести для каждого вида ресурса и построить для них соответствующие интервалы.

Пример 6.

Строительное предприятие может возводить жилые объекты четырех типов: панельный, блочный, кирпичный и монолитный. Реализация единицы площади каждого вида жилья дает прибыль в 5; 7; 6 и 9,5 условных единиц соответственно. Перечень ресурсов, их количество и нормы расхода для производства единицы площади каждого вида жилья приведены в таблице 2.1. Требуется составить такой план строительства, чтобы прибыль от реализации была максимальной.

Решить задачу двумя способами: аналитически, используя симплекс-метод, и с помощью надстройки Excel «Поиск решения». При анализе результатов использовать отчеты, сформированные при работе надстройки Excel «Поиск решения».

Таблица 2.1

Исходные данные задачи распределения ресурсов

Вид ресурса	Нормы расхода				Количество ресурса в наличии
	блочный	панельный	кирпичный	монолитный
электроэнергия	1	3	2	1	100
трудовые ресурсы	1	2	2	2	60
железобетонные изделия	10	10	7	5	310
кирпич	5	0	10	5	200
пиломатериалы	1	5	4	1	150

Решение

Составим математическую модель для данной задачи. Пусть x_j – количество выпускаемой продукции j-го типа, j=1,2,3,4. Как видно из таблицы 2.1, для выпуска одного квадратного метра блочного жилья требуется 1 единица электроэнергии, значит, для выпуска всего количества блочного жилья потребуется 1 x_j единиц электроэнергии, для строительства всего количества панельного жилья потребуется 3x₂ единиц электроэнергии и т.д. Таким образом, ограничение по электроэнергии будет иметь вид: 1x₁+3x₂+2x₃+1x₄100. В этом ограничении левая часть показывает потребность в ресурсе (затраты электроэнергии на строительство жилья в объемах x₁, x₂, x₃, x₄), а правая – его имеющееся количество в наличии.

Аналогично можно составить ограничения для других ресурсов и написать зависимость для целевой функции. Тогда математическая модель задачи будет иметь следующий вид:

Задача может быть решена симплекс-методом, описанным выше. Сами симплекс-таблицы могут быть могут быть оформлены с использованием Excel. Возможный вариант оформления приведен на рис. 2.3. Решением задачи (2.7)-(2.9) является набор

x₁=20, x₂=0, x₃=0, x₄=20,

а значение целевой функции равно 290. Это означает, что выгодно производить продукцию первого и четвертого вида в количестве 20 единиц каждого, производить продукцию второго и третьего вида не выгодно. Суммарная величина прибыли при этом равна 290.

Рис.2.3. Решение в Excel симплекс-методом.

Рассмотрим решение задачи в Excel c помощью надстройки Поиск решения.

1. Разместим на рабочем листе MS Excel исходные данные, как показано на рис. 2.4: в ячейках B3:E3 значения переменных можно положить равными 0, в ячейке F4 значение целевой функции вычисляется по формуле =СУММПРОИЗВ(B3:E3;B4:E4). Левая часть ограничений вычисляется следующим образом: в ячейку F7 заносится формула =СУММПРОИЗВ($B$3:$E$3;B7:E7), после чего она копируется в ячейки F8:F11.

Примечание: встроенная функция СУММПРОИЗВ(U,V), где U и V - интервалы ячеек, имеющих одинаковую конфигурацию, позволяет вычислить сумму произведений одноименных элементов. Результат вычисления по формуле СУММПРОИЗВ(B3:E3;B4:E4) равен В3*В4+С3*С4+D3*D4+E3*E4,

т .е. этот результат соответствует значению ЦФ, определяемому формулой (2.7).

Рис.2.4 . Исходные данные

2. Активизируем надстройку Поиск решения из пункта меню Сервис и заполним диалоговое окно, как это показано на рис.2.5 (в параметрах обязательно отметим линейность модели рис.2.5.а). Нажмем на кнопку Выполнить.

Рис.2.5. Диалоговое окно Поиск решения

3. На рис.2.6 показано полученное решение. При этом в ячейках диапазона B3:E3 находятся искомые значения объемов выпуска продукции, соответствующие оптимальному плану. В ячейке F4 находится значение целевой функции (ЦФ), которое соответствует этому оптимальному плану.

Рис.2.5.а. Параметры Поиска решения

Р ис.2.6. Результаты работы «Поиска решения»

Анализ оптимального решения

Анализ оптимального решения можно проводить после успешного решения задачи, когда на экране появляется диалоговое окно Результаты поиска решения с сообщением Решение найдено (рис.2.7). С помощью этого диалогового окна можно вызвать отчеты трех типов: результаты, устойчивость, пределы.

Рис.2.7. Диалоговое окно «Результаты поиска решения»

Отчеты каждого типа могут быть вызваны следующим образом: выделяем курсором тип нужного отчета и нажимаем ОК. Вызванный отчет появляется на новом листе рабочей книги, на ярлычке которого указано название отчета.

Отчет по результатам.

Отчет состоит из трех частей (рис. 2.8). Часть 1 приводит сведения о целевой функции. В столбце «Исходно» приведено значение целевой функции до начала вычислений. Часть 2 приводит значения искомых переменных до и после решения задачи. Часть 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений и граничных условий.

Для ограничений в графе «Формула» приведены зависимости, которые были введены в окне «Поиск решения»; в графе «Значение» приведены величины использованного ресурса; в графе «Разница» – количество неиспользованного ресурса. Если ресурс использован полностью, то в графу «Статус» заносится сообщение «связанное», если не полностью – «не связан.». Для граничных условий приводятся аналогичные величины, только вместо величины неиспользованного ресурса показана разность между значением переменной в найденном оптимальном решении и заданным для нее граничным условием.

Рис.2.8. Отчет по результатам

В нашем примере для получения максимальной прибыли необходимо производить 20 м² блочного жилья и 20 м² монолитного, при этом трудовые ресурсы и кирпич используются полностью, а электроэнергия, железобетонные изделия и пиломатериалы – нет.

Отчет по устойчивости.

Отчет по устойчивости (рис.2.9) состоит из двух таблиц. В первой таблице приводятся:

• результат решения задачи;

• нормированная стоимость (описание приведено в разделе 2.1). Она показывает, насколько изменится целевая функция при принудительном включении единицы этой продукции в оптимальное решение; значение отлично от 0, когда соответствующий вид продукции не входит в оптимальный план, и наоборот;

• коэффициенты целевой функции;

• предельные значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется структура оптимального решения.

В нашем примере можно сказать, что при принудительном строительстве одного квадратного метра жилья в кирпичном доме целевая функция уменьшится на 4 единицы, при принудительном строительстве одного квадратного метра панельного жилья - на 2 единицы. Структура оптимального решения не меняется при изменении величины прибыли в следующих диапазонах:

• для блочного жилья – [5- 0.25;5+1]=[4,75;6];

• для панельного жилья – [7-1E+30;7+2], но так как величина прибыли ограничена снизу нулем, получаем диапазон [0;9];

• для жилья в кирпичном доме – [0;10];

• для жилья в монолитном доме – [8.5;10].

Во второй таблице  приводятся аналогичные значения для ограничений:

• величина использованных ресурсов;

• теневая цена, которая показывает, как изменится целевая функция при изменении ресурсов на единицу. Для ресурсов, использованных не полностью, теневая цена равна 0 , и наоборот;

• значения приращения ресурсов, при которых сохраняется структура оптимального решения.

Рис.2.9. Отчет по устойчивости

Можно, например, сказать, что если бы у нас была возможность увеличить количество трудовых ресурсов на единицу, целевая функция увеличилась бы на 4,5 единиц. А структура оптимального решения не изменится при изменении фактического наличия трудовых ресурсов в диапазоне [60-2;60+20]=[58;80].

Отчет по пределам.

Этот отчет приведен на рис. 2.10. В нем показано, в каких пределах может изменяться выпуск продукции, вошедшей в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения.

Рис.2.10. Отчет по пределам

Приводятся значения x_j в оптимальном решении, нижние и верхние пределы изменения значений x_j и значения целевой функции на этих пределах.

Решение двойственной задачи.

Составим задачу двойственную к исходной:

Р езультат ее решения приведен на рис. 2.11. На рис.2.12 – отчет по устойчивости для двойственной задачи.

Рис.2.11. Результат решения двойственной задачи

Значения целевых функций прямой и двойственной задач совпали. Значения теневой цены в прямой задаче совпадают с решением двойственной и, наоборот (в этом заключается симметричность прямой и двойственной задач). Таким образом, смысл двойственных переменных u_i – это теневая цена соответствующего ресурса.

Рис.2.12. Отчет по устойчивости для двойственной задачи