2.1. Постановка задачи, основные формулы

Если финансы, оборудование, сырье и даже людей полагать ресурсами, то значительное число задач в экономике можно рассматривать как задачи распределения ресурсов. Достаточно часто математической моделью таких задач является задача линейного программирования, которая записывается следующим образом:

Здесь (2.1) - целевая функция; (2.2) - система ограничений; (2.3) - естественные ограничения;

x_j – количество выпускаемой продукции j-го типа, j=1,2, …n;

b_i - количество ресурса в наличии i-го вида (имеющийся запас), i=1,2,…, m;

a_ij - норма расхода i-го ресурса для выпуска единицы продукции j-го типа;

c_j - прибыль, получаемая от реализации единицы продукции j-го типа.

Значение целевой функции - это суммарная величина прибыли от реализации продукции, выпущенной в объемах x₁, x₂,.. .x_n. Левая часть неравенства (2.2) представляет собой общее количество ресурса i, используемого в соответствии с планом, правая часть - это имеющийся запас.

Каждой задаче линейного программирования соответствует двойственная задача, которая записывается по следующим правилам:

1. Каждому i-му ограничению исходной задачи соответствует переменная двойственной задачи u_i (двойственная переменная)

2. Каждой j-ой переменной исходной задачи соответствует ограничение двойственной. Матрица коэффициентов ограничений двойственной задачи является транспонированной матрицей ограничений исходной. Если в исходной задаче ограничения имеют знак , то в двойственной - 

3. Коэффициенты при двойственных переменных в целевой функции двойственной задачи равны правым частям ограничений исходной задачи

4. Если исходная задача была на нахождение максимума, то двойственная будет на нахождение минимума:

Можно доказать следующие утверждения:

• Для оптимального решения значения целевых функций прямой и двойственной задач совпадают (maxF = minG).

• Если соотношение maxF = minG записать в форме , то видно, что двойственная переменная u_i является коэффициентом при b_i и, следовательно, показывает, как изменится целевая функция при изменении ресурса b_i на единицу. В литературе по оптимизации двойственные переменные принято называть двойственными оценками. В отчетах, полученных с помощью табличного процессора Excel, двойственная оценка называется теневой ценой.

• Теневая цена ресурса отлична от нуля (точнее, больше нуля) только для тех видов ресурсов, которые используются полностью, т.е. ограничения (2.2) превращаются в равенства.

• Симметричность прямой и двойственной задач заключается в том, что значения теневой цены в прямой задаче совпадают с решением двойственной и наоборот.

• В теории ЛП также рассматриваются дополнительные двойственные переменные, которые в отчетах Excel называются нормированной стоимостью. Каждой основной переменной x_j соответствует своя нормированная стоимость v_j. Известно, что если x_j=0 (т.е. продукцию j-го типа выпускать не целесообразно), то v_j отлична от нуля (точнее v_j<0) и наоборот, если x_j>0 (продукцию выпускать целесообразно), то соответствующее v_j=0. Экономический смысл нормированной стоимости - это величина, которая показывает, на сколько уменьшится значение суммарной прибыли (ЦФ), при принудительном выпуске этой продукции.