1.2.2. Основная идея симплекс-метода

Если ранг матрицы А системы (1.1) и ранг расширенной матрицы системы равен r(r£m), то r переменных могут быть выражены через остальные переменные:

                    (1.19)

Переменные (неизвестные)           называются базисными, а весь набор ( ) – базисом, остальные переменные называются свободными. Система ограничений (1.19) называется системой приведенной к единичному базису. Подставляя в линейную форму F (1.3) вместо базисных переменных их выражения через свободные переменные из системы (1.19) получим:

                                       (1.20)

Полагая все свободные переменные равными нулю, найдем значения базисных переменных: . Если все значения , решение ( ) системы ограничений является допустимым. Такое допустимое решение называется базисным или опорным, обозначим его через . Для полученного базисного решения значение целевой функции . Решение задачи при помощи симплекс-метода подразумевает ряд шагов, состоящих в том, что от данного базиса переходим к другому базису с таким расчетом, чтобы значение целевой функции F увеличивалось или, по крайней мере, не уменьшалось, т.е. .

Геометрическая интерпретация симплекс-метода состоит в том, что аналитическому переходу от одного базиса к другому соответствует переход от одной вершины многогранника (множества допустимых решений) к другой, в которой целевая функция имеет не меньшее значение. Этот факт основан на том, что вершинам многоугольника множества допустимых решений соответствуют опорные решения системы ограничений.

Решение симплекс-методом заканчивается, когда среди опорных решений будет найдено такое, которое обеспечивает максимум линейной формы (1.3). Такое решение называется оптимальным.

1.2.3. Реализация симплекс-метода

Рассмотрим идею симплекс-метода на конкретном примере

                                                          (1.21)

                                                           (1.22)

.                                                           (1.23)

Решение

Данная система уравнений совместна, так как ранги матрицы системы

и расширенной матрицы

совпадают и равны 3. Следовательно, три переменные (базисные) можно линейно выразить через две свободные переменные. Выразим, например, x₁, x₂ и x₃ через x₄ и x₅, т.е. приведем систему к единичному базису:

                (1.24)

Линейная форма уже выражена через x₄ и x₅.

При x₄ =0 и x₅=0, найдем значения базисных переменных x₁=1, x₂=2 и x₃=3.

Таким образом, первое допустимое решение имеет вид x₁=1, x₂=2 , x₃=3, x₄ =0 , x₅=0 или (1,2,3,0,0). При найденном допустимом решении линейная форма F имеет значение 0, т.е. F₁=0.

Теперь попытаемся увеличить значение F:

• увеличение x₄ уменьшит F , так как перед x₄ стоит отрицательный коэффициент, а увеличение x₅ даст увеличение;

• будем увеличивать x₅ таким образом, чтобы одна из базисных переменных (x₁ или x₂ или x₃) обратилась в ноль, а остальные базисные переменные оставались бы неотрицательными.

Анализируя первое уравнение системы (1.24), приходим к выводу, что x₅ можно увеличить неограниченно. При этом x₁ остается положительным и никогда не обратиться в ноль. Из второго уравнения системы (1.24) следует, что x₅ можно увеличить до 2 (больше увеличивать нельзя, т.к. x₂ станет отрицательным). Из третьего уравнения системы (1.24) следует, что x₅ можно увеличить до 3. Принимая во внимание приведенный анализ, приходим к выводу, что x₅=2.

Таким образом, получим второе допустимое решение x₁=5, x₂=0 , x₃=1, x₄ =0 , x₅=2 или (5,0,1,0,2).

Значение линейной формы F при этом допустимом решении равно F₂=2, т.е. значение целевой функции увеличилось.

Примем за свободные переменные x₂ и x₄., т.е. те переменные, которые в этом решении равны 0. С этой целью из второго уравнения системы (1.21) выразим x₅ .

Получим . Тогда

                (1.25)

Для увеличения значения F будем увеличивать x₄. Проведя аналогичный анализ системы (1.25), заключаем, что x₄ можно увеличить до 1/5 (следует из рассмотрения второго уравнения системы (1.25)). Таким образом, получим третье допустимое решение x₁=28/5, x₂=0, x₃=0, x₄=1/5, x₅=12/5 или (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5). Значение линейной формы F при этом допустимом решении равно F₃=11/5, т.е. значение целевой функции увеличилось.

                (1.26)

Так как в последней линейной форме обе свободные переменные входят с отрицательными коэффициентами, то наибольшее значение достигается при x₂=0 , x₃=0.

Из этого следует, что решение (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5) является оптимальным и F_max=11/5.

Для того, чтобы упростить трудоемкие операции по пересчету коэффициентов и перезаписи системы ограничений, можно выполнять преобразования специальной симплекс-таблицы.

Симплексные таблицы

Для составления такой таблицы систему фазовых ограничений и целевую функцию необходимо записать в стандартной форме, т.е. сведенной к единичному базису:

              (1.27)

                               (1.28)

В виде таблицы эти данные можно представить так:

Таблица 1.1

Базисные переменные		…		…			…		…		Свободные члены
	1	…	0	…	0				…
…	0	…	0	…	0	…		…	…	…	…
	0	…	1	…	0				…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	….
	0	…	0	…	1				…
F	0	…	0	…	0				…

Заметим, что в строку с целевой функцией коэффициенты записываются с противоположным знаком .

Каждой итерации соответствует преобразование симплексной таблицы, в результате которого получается новое базисное решение, которому соответствует первый столбец.

Правила преобразования симплексной таблицы.

1. Выбирают разрешающий столбец из условия и хотя бы один элемент .

2. Выбирают q-ю разрешающую строку из условия

Элемент , стоящий на пересечении разрешающего (с индексом p) столбца и разрешающей (с индексом q) строки, называется разрешающим элементом.

3. В состав базисных переменных вводят переменную , которую записывают в строку с номером q.

4. Производят пересчет элементов разрешающей q-й строки по формуле

В результате преобразования получают единицу на месте разрешающего элемента.

5. Вычисляют элементы всех остальных строк (при kp) по формуле:

Строке с номером r+1 соответствует строка целевой функции, столбцу с номером n+1 соответствует столбец свободных членов.

Другими словами, умножая разрешающую строку на подходящие числа и прибавляя ее к остальным строкам, добиваются, чтобы остальные элементы разрешающего столбца стали равными нулю.

6. Далее анализируем полученную таблицу. Если решение получено или выяснено, что его нет, процесс решения закончен. Иначе переходим к пункту 1.

Анализ базируется на основной теореме симплекс-метода.

Теорема

Если после выполнения очередной итерации (преобразования):

1. найдется хотя бы один отрицательный коэффициент , и в каждом столбце с таким коэффициентом окажется хотя бы один положительный элемент, то можно улучшить решение, выполнив следующую итерацию;

2. найдется хотя бы один отрицательный коэффициент , и в соответствующем столбце не содержится положительных элементов, то функция F не ограничена в области допустимых решений;

3. все коэффициенты окажутся неотрицательными, то оптимальное решение достигнуто.

Рассмотрим решение той же задачи (1.21)-(1.23) с помощью симплекс-таблиц.

Исходная симплекс-таблица, определяемая соотношениями (1.21) - (1.23) показана на рис. 1.5.

Базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	Свободные члены
x1	1	0	0	1	-2	1
x2	0	1	0	-2	1	2
x3	0	0	1	3	1	3
F	0	0	0	1	-1	0

Рис.1.5. Исходная симплекс таблица.

Заметим, что целевая функция в данном примере может быть записана в виде , что соответствует виду (1.28). В качестве разрешающего столбца выберем столбец, соответствующий x₅ , поскольку в нем в строке с целевой функцией стоит отрицательный элемент (– 1).

Для определения разрешающей строки заполним вспомогательный столбец (рис. 1.6)

Первая клетка в этом столбце оставлена пустой, поскольку в соответствующей клетке столбца x₅ стоит отрицательный элемент (– 2).

Из этого столбца выбираем минимальное значение min{2;3}=2; это значение стоит во второй строке, поэтому берем её в качестве разрешающей.

Базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	Свобод-ные члены	Вспомога-тельный
x1	1	0	0	1	-2	1
x2	0	1	0	-2	1	2	2/1=2
x3	0	0	1	3	1	3	3/1=3
F	0	0	0	1	-1	0

Рис.1.6. Выбор разрешающего столбца и разрешающей строки (они выделены) для первой итерации.

Выполним преобразования указанные в п.п.4–5 для табл. 1.1. Результат приведен на рис. 1.7. Значение целевой функции F=2.

Базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	Свободные члены
x1	1	2	0	-3	0	5
x5	0	1	0	-2	1	2
x3	0	-1	1	5	0	1
F	0	1	0	-1	0	2

Рис.1.7. Симплекс таблица после первой итерации.

Поскольку в строке, соответствующей целевой функции, имеется отрицательный элемент –1 (столбец x₄), необходимо выполнить еще одну итерацию.

Для определения разрешающей строки (разрешающий столбец уже очевиден - x₄) заполним таблицу (рис.1.8.):

Базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	Свободные члены	Вспомогательный
x1	1	2	0	-3	0	5
x5	0	1	0	-2	1	2
x3	0	-1	1	5	0	1	1/5
F	0	1	0	-1	0	2

Рис.1.8. Выбор разрешающего столбца и разрешающей строки для второй итерации.

Выбор разрешающей строки свелся к выбору из одной строки, поскольку только в строке x₃ стоит положительный элемент. Выполним преобразования указанные в п.п.4–5 для таблицы (рис. 1.7), результат – в таблице на рис. 1.9.

Базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	Свободные члены
x1	1	7/5	3/5	0	0	28/5
x5	0	3/5	2/5	0	1	12/5
x4	0	-1/5	1/5	1	0	1/5
F	0	4/5	1/5	0	0	11/5

Рис.1.9. Симплекс таблица после второй итерации.

В строке, соответствующей целевой функции, нет отрицательных элементов, следовательно, получено оптимальное решение (28/5,0,0, 1/5, 12/5) и F_max=11/5. Заметим, что решения совпали.

2. Задача об оптимальном распределении ресурсов