ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
Часть 1
ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ.
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
Программа, методические указания и контрольные задания для студентов всех форм обучения специальности 311100
«Городской кадастр»
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2004
Федеральное агентство по образованию
Санкт-Петербургский государственный горный институт им Г.В. Плеханова
(технический университет)
Кафедра информатики и компьютерных технологий
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
Часть 1
ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ.
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
Программа, методические указания и контрольные задания для студентов всех форм обучения специальности 311100
«Городской кадастр»
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2004
УДК 519.86:622.3.012 (075.83)
Экономико-математические методы и моделирование. Часть 1. Оптимальное распределение ресурсов. Транспортная задача
Программа, методические указания и контрольные задания. / Санкт-Петербургский горный ин-т. Сост.: В.В. Беляев, Т.А. Виноградова, Г.Н. Журов., Т.Р Косовцева. СПб, 2004. 71 с.
Методические указания содержат необходимые теоретические сведения по решению задач линейного программирования аналитическими (симплекс-метод и метод потенциалов) и численными методами. Приведены примеры решения типовых задач по определению и анализу оптимального плана выпуска продукции предприятия и транспортной задачи
Предназначены для студентов специальности 311100 «Городской кадастр» дневной и заочной формы обучения, могут быть полезны всем, изучающим математическое моделирование.
Табл. 13. Рис.32. Библиогр.: 6 назв.
Научный редактор ст.преп. Е.В Быкова.
© Санкт-Петербургский горный
институт им. Г.В.Плеханова, 2004 г.
Цель контрольной работы №1
Выполнение контрольной работы №1 по дисциплине «Экономико-математические методы и моделирование» имеет целью закрепить и углубить знания, полученные студентами при изучении указанного курса в разделе линейного программирования. Каждый вариант состоит из двух заданий, которые приведены в конце каждой темы. Первая задача связана с определением и анализом оптимального плана выпуска продукции предприятия (задача линейного программирования и анализ устойчивости с помощью надстройки Excel). Вторая задача – транспортная задача линейного программирования.
Тема 1 . Задачи математического программирования
Программа. Задачи математического программирования. Планирование и управление производством с помощью методов линейного программирования. Основные понятия линейного программирования. Понятие о симплекс-методе. Графический метод решения простейших задач линейного программирования. Задачи об оптимальном использовании ресурсов (оптимальном плане выпуска продукции). Двойственная задача линейного программирования, ее экономический смысл. Транспортная задача. Постановка и особенности транспортной задачи. Метод потенциалов.
1. Основная задача линейного программирования
1.1. Основные формулы и определения
В каноническом виде задача линейного программирования (ЛП) формулируется следующим образом.
Найти такой набор
,
который является решением системы
(1.1)
удовлетворяет соотношению
(1.2)
и обеспечивает максимум (минимум) линейной функции
(1.3)
Соотношения (1.1) принято называть фазовыми ограничениями, соотношения (1.2) – естественными ограничениями.
Функцию F принято называть целевой функцией.
Система ограничений всегда может быть приведена к каноническому виду.
Если ограничения заданы неравенствами, то их можно преобразовать в равенства путем введения новых неотрицательных переменных, так называемых балансовых (выравнивающих) ресурсов.
Так, например, в
неравенстве
достаточно добавить к левой части
некоторую величину xn+1³0
и получится равенство:
.
Чтобы балансовые переменные не влияли на искомый оптимум, их вводят в целевую функцию (1.1) с нулевыми коэффициентами.
В дальнейшем будет
рассматриваться только задача на
максимизацию. Если необходимо решить
задачу на минимизацию линейной формы,
то коэффициенты целевой функции следует
умножить на (1) и
решать эту новую задачу на максимум.
Искомый минимум целевой функции
получается умножением найденного
максимального значения на (1),
т.е.
.
Задачу ЛП, определяемую соотношениями (1.1)-(1.3), можно записать в матричном виде:
AX=B
X>0
CXmax
где
,
,
,
.
В дальнейшем при
анализе задачи также используется
расширенная матрица системы (1.1)
,
которая составляется из матрицы А
и вектора В.
Пример 1.
Составить задачу ЛП, позволяющую оптимизировать расход кормов, и привести ее к каноническому виду.
Для откорма животных употребляют два вида кормов; стоимость 1 кг корма I вида - 5 у.е., а корма - II вида 2 у.е. В каждом килограмме корма I вида содержится 5 ед. питательного вещества А, 2.5 ед. питательного вещества B и 1 ед. питательного вещества C. В каждом килограмме корма II вида содержится соответственно 3, 3 и 1.3 ед. Суточный рацион предусматривает питательных единиц A не менее 225 ед., типа B - не менее 150 ед. и типа C - не менее 80 ед. Какое количество корма каждого вида необходимо расходовать ежедневно, чтобы затраты были минимальны?
Решение
Построим математическую модель данной задачи. Обозначим через x1 и x2 количество кормов I и II вида соответственно. Тогда суммарная стоимость кормов будет равна 5 x1 +2 x2. Поэтому целевая функция будет иметь вид:
(1.4)
Ограничения по содержанию питательных веществ в рационе будут иметь вид:
(1.5)
(1.6)
Соотношения (1.4)-(1.6) корректно определяют задачу ЛП, но предложенная форма записи не является канонической. Для приведения задачи к этой форме домножим ЦФ (1.4) на –1, в результате получим новую ЦФ (1.7). Для преобразования фазовых ограничений (1.5) к канонической форме введем положительные балансовые переменные x3, x4 и x5. Тогда фазовые ограничения примут вид (1.8), а естественные - вид (1.9).
(1.7)
(1.8)
(1.9)
Соотношения (1.7) – (1.9) определяют задачу ЛП в канонической форме.