8 Тема . Нелинейное програмирование.

ЗАДАЧА 8.1

Определить безусловный экстремум для целевой функции, заданной в таблице 8.1

Таблица 8.1

Номер варианта	Функция
1	х²+у²+ху-4х-5у
2	ху(1-х-у)
3	3х+6у-х²-ху+у²
4	2ху-4х-2у
5	у²- х²+ху-2х-6у
6	х2-у2-3ху
7	х2+8у2-6ху+1
8	2х2-ху²+5х²+у²
9	6х+12у-2х²-2ху+2у²
0	2х²+у²-4ху-2х-у+1

Рекомендуемая литература.

1.М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. Исследование операций в экономике. Учебное пособие.-М.:Изд.Инфра-М, 2003,-443с.

2.Бонди Б. Основы линейного программирования.-М.:Радио и связь,1989.-174с.

3.Вентцель Е.С. Исследование операций.-М.:Наука,1988.-208с.

4.Замков О.О. и др. Математические методы в экономике.-М:Изд-во МГУ,1987.408с.

5.Исследование операций в экономике,под ред.Н.Ш.Кремера.-М.:Изд.Банки и биржа.-1997.-408с.

6.М.С.Красс, Б.П. Чупрынов, Основы математики и ее приложения в экономическом образовании.-М.:Изд.Дело, 2000,-686с.

7.О.А. Косоруков, А.В. Мищенко. Исследование операций. Учебник для вузов.-М.:Изд. Экзамен,2003,-445с.

8.Е.С. Кундышева. Математическое моделирование в экономике. Уч. пособие.-М:Изд «Дашков и К⁰» , 2004,-350с.

9.Экономико – математическое моделирование .Учебник для студентов вузов.Под общ.ред.И.Н.Дрогобыцкого. – изд.»Экзамен»,2004. – 800с

10.Шапкин А.С.,Мазаева Н.П. Математические методы и модели исследования операций:Учебник. – М.:Изд.-торговая корпорация «Дашков и К⁰»,2004.-400 с.

11.М.С.Красс, Б. П. Чупрынов Математические методы и модели для магистрантов экономики: Учебное пособие. – СПб.:Питер,2006.-496с.

12. Г. В. Абраменко. Применение системного анализа в технике и экономике. Под ред. Ю. И. Краснощекова.- М.: ЦЭИ Химмаш, 2001. – 190с.

13 А. С. Малин. Исследование систем управления. Уч. для вузов. Гос. Университет Высшая школа экономики. – 2-е изд. – М.: изд-во ГУ ВШЭ, 2004. – 399с.

14. В. Н. Спициадель. Теория и практика принятия оптимальных решений. Учеб. пособие.М-во общего и проф. образования РФ, Балт. гос. тех.ун-т ВОЕНМЕХ им. Д. Ф. Устинова. – СПб.: Бизнес-пресса,2002. – 394 с.

15. П. Д. Шимко. Оптимальное управление экономическими системами.

Учеб.пособие. - СПб. Издательский дом «Бизнес-пресса»,2004. – 240с.

Вопросы для самоконтроля.

1.Основные принципы применения методов математического моделирования. Основные определения.

2.Построение математических моделей и их особенности. Постановка задачи об оптимальном плане производства.

3.Общая задача ЛП, стандартный вид задачи ЛП.

4.Понятие двойственности в задачах линейного программирования, правила построения двойственной задачи.

5.Экономический смысл двойственных задач.

6.Экономический смысл теорем двойственности.

7.Задача о плане производства при условии ограниченных ресурсов (графический метод).

8.Понятие целевой функции задачи линейного программирования. Ее экономический смысл.

9.Системы линейных неравенств в математических моделях. Их решение графическим методом.

10.Решение задач ЛП симплекс-мотодом. Графическое решение.

11.Анализ решения задач ЛП.

12.Транспортные задачи. Экономическая постановка ТЗ. Математическая модель прямой и двойственной задачи.

13.Транспортная задача. Построение начального допустимого плана. Сбалансированность ТЗ.

14.Метод наименьшего элемента ТЗ.

15.Метод потенциалов ТЗ.

16.Транспортная задача на максимум целевой функции.

17.Транспортная задача с возможностью расширения производства.

18.Пояснить понятие: план выпуска продукции, оптимальный план производства, целевой функции

19.Какие переменные называются базисными, какие свободными. Показать их в модели и в плане производства.

20.Пояснить экономический смысл всех переменных в математической модели. Какова их размерность.

21.Общая постановка задачи целочисленного программирования. Особенности задачи и ее решения.

22. Решение задачи целочисленного программирования методом ветвей и границ. Задача о коммивояжере.

23.Математическая постановка задачи о оптимальном размещении капитальных вложений, ее решение.

24.Математическая постановка задачи о составлении оптимального меню, ее решение.

25.Основные понятия теории игр. Классификация задач теории игр.

26. Решение задачи игры с нулевой суммой в чистых стратегиях.

27. Решение задачи игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях.

28. Решение задачи игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях геометрическим методом.

29. Критерии Байеса и Лапласа для выбора оптимальной стратегии при “играх с природой”.

30. Критерии Вальда, Севиджа и Гурвица для выбора оптимальной стратегии при “играх с природой”.

31. Решения задач теории игр. Решение задач графическим методом.

32.Платежная матрица и ее построение.

33.Динамическое программирование и его задачи.

34.Общие уравнения алгоритма, реализующие принцип Беллмана в задачах динамического программирования.

35.Задача распределения ресурсов.

36.Задача распределения средств между предприятиями.

37.Задача о замене оборудования.

38.Нелинейное программирование. Методы решения задач НЛП.

39.Основные понятия системного анализа.

40.Основные понятия, применяемые при решении задач

оптимизации.

41.Постановка задач принятия оптимальных решений.

42.Методология и методы принятия решений.

ЛЕКЦИЯ № 3

(в дополнение к направлению подготовки

по дисциплине «Методы принятия управленческих решений»)

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ И ПРИЕМЫ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

 Сначала разберем несколько упрощенный пример задачи принятия решений при управлении, потом введем основные понятия теории принятия решений.

3.1.1. Пример задачи принятия решения

  В городе Загорье приближается праздник - 500 лет со дня основания. Городская дума решила отметить эту круглую дату, провести праздник, а заодно пополнить городской бюджет. И вот мы присутствуем на заседании, где обсуждаются детали.

  Надо решить, где проводить праздник - на открытом воздухе или в здании городского театра. Финансовый результат праздника зависит от погоды, которая будет в тот день. При хорошей солнечной погоде все Загорье выйдет на улицы, праздничные мероприятия соберут массу участников, и городской бюджет пополнится солидной суммой. А если дождь? Загорцы - патриоты своего города, и праздничные эстрады, качели и карусели не будут пустовать, но их посетителей, празднующих под зонтиками, будет, конечно, много меньше, чем в солнечную погоду. 

  Второй вариант - празднование в здании. Он явно выигрывает в случае дождя - праздновать под крышей гораздо лучше, чем под зонтиками. Однако в солнечную погоду многие жители Загорья предпочтут радоваться солнцу, гулять или работать в садах и огородах, но не праздновать в здании.

  Итак, каждый из двух вариантов решения имеет плюсы и минусы. Для принятия решения явно не хватает следующей количественной информации:

  - насколько вероятна в день праздника солнечная погода и насколько - дождливая;

  - каковы финансовые результаты праздника при различных вариантах сочетания погоды и места проведения (а таких сочетаний четыре: солнечно - проведение на открытом воздухе, праздник под дождем, в театре при солнце, в здании при дожде).

  На первый вопрос Дума поручает ответить городскому гидрометцентру, на второй - группе из режиссеров праздника, бухгалтеров и представителей торговых фирм. Перед началом следующего заседания думцы Загорья получают запрошенные ими количественные данные, сведенные в таблицу.

Таблица 1.

Прибыль города при различных вариантах проведения праздника (тыс. руб.)

Погода	Праздник на открытом воздухе	Праздник в театре
Солнечно (60 %)	1000	750
Дождь (40 %)	200	500

  В Думе началась дискуссия.

  - Надо получить побольше в самом плохом случае, - сказал осторожный Воробьев. - А хуже всего - при дожде, доходы по сравнению с солнечной погодой уменьшаются при любом нашем решении. При дожде на открытом воздухе заработаем 200 тысяч, а собравшись в театре - 500 тысяч. Значит, надо проводить праздник в театре - и как минимум 500 тысяч нам обеспечены.

  - Нельзя быть таким пессимистом, - заявил горячий Лебедев. - Чаще всего в нашем городе солнечно, дожди - лишь исключение. Надо быть оптимистами - исходить из того, что все пойдет, как мы хотим, будет солнечно, мы проведем праздник на открытом воздухе и получим миллион в бюджет Загорья.

  - На мой взгляд, и пессимист Воробьев, и оптимист Лебедев обсуждают крайние случаи - самую худшую ситуацию и самую лучшую. А надо подходить системно, обсудить ситуацию со всех сторон, учесть обе возможности, - начал выступление обстоятельный Чибисов, профессор математики местного университета, специалист по теории вероятностей. - Рассмотрим сначала первый вариант - праздник на открытом воздухе. Мы получим 1000 тыс. в 60 % случаев (когда будет солнце) и 200 тыс. в 40 % случаев (при дожде), значит, в среднем 1000 х 0,6 + 200 х 0,4 = 600 + 80 = 680 тысяч. А для второго варианта аналогичный расчет дает 750 х 0,6 + 500 х 0,4 = 450 + 200 = 650 тыс. Значит, надо проводить праздник на открытом воздухе.

  - Коллега Чибисов рассуждает так, как будто мы будем отмечать 500 лет Загорья каждый год, да и все данные в таблице лет сто не изменятся, - вступил в дискуссию экономист Куликов. - Но нам предстоит провести только один праздник, и сделать это надо так, чтобы потом не жалеть об упущенных возможностях. Если мы решим проводить торжества на открытом воздухе, а пойдет дождь, то получим 200 тыс. вместо 500 тыс. при решении, соответствующе погоде. Значит,. упущенная выгода составляет 500 - 200 = 300 тыс. При праздновании в театре в случае солнечной погоды упущенная выгода составит 1000 - 750 = 250 тыс., т.е. будет меньше. Следовательно, надо отмечать 500 лет Загорья в театре.

  - Подведем итоги, - взял слова председательствующий Медведев. - Выступили четверо, каждый привел убедительные доводы в пользу того или иного решения. При этом за проведение торжества в театре выступили Воробьев и Куликов, а за проведение мероприятия на открытом воздухе - Лебедев и Чибисов. Будем голосовать.

  Результаты голосования - 15 думцев за торжество на открытом воздухе, 8 (в основном представители старшего поколения) - за проведение его в театре. Решение принято - 500 лет Загорья будут отмечаться на открытом воздухе.