10. Лекция. Нелинейное программирование.

10.1. Основные понятия.

Во многих оптимизационных задачах целевая функция, или функции, задающие ограничения, не являются линейными. Такие задачи называются задачами нелинейного программирования.

Пример простой нелинейной задачи:

Предприятие для производства какого-то продукта расходует два средства в количестве х и y соответственно. Это факторы производства, например, машины и труд, два различных вида сырья и т.п., а х и y – затраты факторов производства.

Факторы производства считаются взаимозаменяемыми. Если это «труд» и «машины», то можно применять такие методы производства, при которых величина затрат в сопоставлении с величиной затрат труда оказывается больше или меньше (производство более или менее трудоемкое).

Объем производства, выраженный в натуральных или стоимостных единицах, является функцией затрат производства

Z = f (х, y). Эта зависимость называется производственной функцией.

Совокупные издержки выражаются формулой с₁х₁ + с₂y₂ = в.

Требуется при данных совокупных издержках определить количество факторов производства, которое максимизирует объем продукции Z.

Математическая модель задачи:

Определить такие переменные х и у, удовлетворяющие условиям

с₁х₁+с₂у=в, х≥0, у≥0,

при которых функция z=f(х, у) достигнет максимума.

Ограничения могут отсутствовать. В этом случае производится безусловная оптимизация задачи. Как правило, функция z может иметь произвольный нелинейный вид. В теории нелинейной оптимизации выделяют понятие локального экстремума (локального минимума, локального максимума), глобального экстремума, условного экстремума.

Понятие условного экстремума вводится для случая, когда число переменных n не меньше 2 (n≥2).

Разница между глобальным и локальным экстремумами предоставлена на рисунке:

А С В

Точки А и В являются точками локального экстремума, а точка С является точкой глобального экстремума.

Задачи нелинейного программирования делятся на два класса: имеющие безусловный экстремум и имеющие условный экстремум в зависимости от того есть ли дополнительные условия или нет.

10.2. Безусловный экстремум

Рассмотрим задачу безусловного экстремума.

Найти экстремум функции z=х²+ху+у²-2х-3у.

Найдем частные производные.

Первая производная по х: z׳_х=2х+у-2

Первая производная по у: z׳_у=х+2у-3

Р ешим систему уравнений. 2х+у=2

х+2у=3

Получаем критическую точку (1/3; 4/3).

Найдем вторые частные производные.

Вторая производная по х: z׳׳_хх=2

Вторая производная по у: z׳׳_уу=2

С мешанные производные z׳׳_ху=z׳׳_ух=1

Составим определитель 2 1

1 2 ∆ = 4-1=3

Следовательно, экстремум есть. Так как z=2>0, то в точке (1/3; 4/3) точка минимума.