29. Общая характеристика аналоговых фильтров-прототипов: Баттерворта, Чебышева I и II типа, Золоторева-Каура (эллиптические). Методика применения билинейного z-преобразования.

Общая характеристика аналоговых фильтров-прототипов

Фильтры Баттерворта, Чебышева, инверсные Чебышева и эллиптические образуют четыре наиболее известных класса. Фильтр Баттерворта обладает монотонной характеристикой (Характеристика является монотонно спадающей, если она никогда не возрастает с увеличением частоты.) Характеристика фильтра Чебышева содержит пульсации (колебания передачи) в полосе пропуска­ния и монотонна в полосе задерживания. Инверсная характеристика фильтра Чебышева монотонна в полосе пропускания и обладает пульсациями в полосе задерживания.

1.1. Фильтры Баттерворта

Вероятно, наиболее простая амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот у фильтра Баттерворта, которая в случае n-го порядка определяется следующим образом:

, (n=1,2,3…).

(1)

Эта характеристика фильтра Баттерворта монотонно спадает (никогда не возрастает) при увеличении частоты. Увеличение порядка также приводит к улучшению характеристики.

Для фильтра Баттерворта минимальный порядок можно определить, подставив приведенные выше условия в (1) и решив его относительно порядка n. В результате получаем

(6)

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта наиболее плоская около частоты =0 по сравнению с характеристикой любого полиномиального фильтра n-го порядка и вследствие этого называется максимально плоской. Следовательно, для диапазона низких частот характеристика фильтра Баттерворта наилучшим образом аппроксимирует идеальную характеристику. Однако для частот, расположенных около точки среза и в полосе задерживания, характеристика фильтра Баттерворта заметно уступает характеристике Чебышева, который рассматривается ниже.

Однако фазочастотная характеристика фильтра Баттерворта лучше (более близка к линейной), чем соответствующие фазочастотные характеристики фильтров Чебышева, инверсных Чебышева и эллиптических сравнимого порядка. Это согласуется с общим правилом для фильтров данного типа – чем лучше амплитудно-частотная характеристика, тем хуже фазочастотная, и наоборот.

1.2. Фильтры Чебышева

Фильтр Чебышева обладает амплитудно-частотной характеристикой, которая определяется следующим образом:

, (n=1, 2, 3...).

(8)

Параметры  и К – постоянные числа, а С_n является полиномом Чебышева первого рода степени n и имеет вид:

	Cn(x)=cos(narcos(x)).	(9)

Амплитудно-частотная характеристика достигает своего наибольшего значения К в тех точках, где С_n равно нулю. Поскольку эти точки распределены по полосе пропускания, то характеристика фильтра Чебышева содержит пульсации в полосе пропускания и монотонна в других областях. Размах этих пульсаций определяет параметр  , а их число степень n. Коэффициент усиления фильтра определяется значением К.

Минимально допустимое затухание в полосе пропускания – постоянный размах пульсаций, часто выражается в децибелах как

,

(11)

и может использоваться как характеристика фильтра Чебышева.

На основе (8) для К=1 найдем минимальный порядок фильтра Чебышева:

.

(14)

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева данного порядка лучше амплитудно-частотной характеристики Баттерворта, так как у фильтра Чебышева уже ширина переходной области. Однако фазочастотная характеристика фильтра Чебышева хуже (более нелинейна) по сравнению с фазочастотной характеристикой фильтра Баттерворта. Фазочастотные характеристики фильтра Чебышева для 2–7-го порядков приведены на рис. 5. Для сравнения на рис. 5 штриховой линией изображена фазочастотная характеристика фильтра Баттерворта шестого порядка. Можно также отметить, что фазочастотные характеристики фильтров Чебышева высокого порядка хуже фазочастотных характеристик фильтров более низкого порядка. Это согласуется с тем фактом, что амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева высокого порядка лучше амплитудно-частотной характеристики фильтра более низкого порядка.

Рис. 5. Фазочастотные характеристики фильтров Баттерворта и Чебышева.

1.3. Эллиптические фильтры

Эллиптический фильтр имеет амплитудно-частотную характеристику, которая содержит пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания и является лучшим среди всех фильтров нижних частот в том смысле, что для заданного порядка и допустимых отклонений характеристик в полосах пропускания и задерживания обладает самой узкой шириной переходной области. Пример амплитудно-частотной характеристики эллиптического фильтра пятого порядка изображен на рис. 6.

Рис. 6. Амплитудно-частотная характеристика эллиптического фильтра нижних частот для случая n=5.

Пульсации в полосе пропускания равны по значению и могут характеризоваться максимальным допустимым затуханием в полосе задерживания. Эта величина которую мы также будем называть неравномерностью передачи, в полосе пропускания (РRW), дБ, согласно обозначению на рис. 6 равна:

PRW=–20log10(A1).

(15)

Пульсации в полосе пропускания так же равны по значению (хотя не обязательно равны размаху пульсаций в полосе пропускания) и характеризуются минимальным затуханием в полосе задерживания МSL, дБ, следующим образом:

MSL=–20log10 (A2).

(16)