5.10. Турбулентное движение жидкости
в гладкой цилиндрической трубе
Как и в случае ламинарного движения, изучение турбулентного движения в трубе сводится к выяснению характера распределения скорости по сечению трубы и к установлению закона сопротивления движению. Полагая суммарное напряжение в рассматриваемом потоке величиной постоянной и принимая гипотезу Прандтля для турбулентных напряжений, запишем уравнение (5.38) в виде
.
(5.43)
Опыты показывают,
что по мере приближения к стенке
турбулентные пульсации затухают,
следовательно, уменьшается величина
и в непосредственной близости от стенки
становится ничтожно малой по сравнению
с
,
так что в пределах пристеночного слоя
можно принять
.
По мере удаления
от стенки роль турбулентных пульсаций
возрастает и, начиная с некоторого
расстояния, величина
во много раз превосходит величину
так, что для этой области потока можно
принять
.
Для пристеночной области потока, часто именуемой ламинарным подслоем,
(5.44)
где
–напряжение трения на стенке трубы.
Откуда
Интегрируя последнее уравнение, получим
При
постоянная интегрирования С=0. В ламинарном
подслое распределение скорости носит
линейный характер:
.
(5.45)
Обратимся теперь к области турбулентного течения, для которого
.
(5.46)
Используя для длины пути перемешивания формулу Прандтля
l=ϰy, получим
,
(5.47)
откуда
.
(5.48)
Обозначая
и интегрируя уравнение (5.48), находим
(5.49)
Для определения произвольной С следует в данном случае привлечь условие, относящееся к границе раздела между турбулентным ядром потока и ламинарным подслоем, где
Здесь
–толщина
ламинарного подслоя, а
–скорость на его границе.
Записывая уравнение (5.50) для границы ламинарного подслоя, получим
откуда
(5.50)
Исходя из уравнения (44) для границы ламинарного подслоя, можно написать
так как
.
С учетом скорости
выражение для
можно представить в виде
(5.51)
откуда толщина ламинарного подслоя
(5.52)
Подставляя значение из (51) в (49), получим
(5.53)
а подставляя (5.53) в (5.48), имеем
,
или
,
где
Коэффициенты
и
можно определить опытным путем. Так, в
результате опытов Никурадзе получена
формула, определяющая распределение
скоростей в гладких трубах, в виде
(5.54)
Это уравнение выражает универсальный логарифмический закон распределения скоростей.
Полагая в уравнении
(5.54)
,
найдем скорость на оси трубы (
):
(5.55)
Зная закон распределения скоростей, можно найти величину коэффициента гидравлического трения. Для гидравлических гладких труб, исходя из формулы (5.54) для средней скорости потока, можно записать
(5.56)
где
=0,223
–расстояние от стенки до слоя, в котором
скорость равна средней скорости U.
Выше была получена зависимость
подставляя которую в (5.56), найдем
(5.57)
Это известная формула Прандтля для коэффициента гидравлического трения в гладких трубах. Недостаток этой формулы заключается в том, что в ней зависимость от числа Re выражена в неявной форме, поэтому решать её приходится методом последовательных приближений. От этого недостатка свободна эмпирическая формула Конакова
(5.58)
Наряду с
логарифмическими формулами для
коэффициента сопротивления трубы и для
распределения скорости при турбулентном
движении существуют степенные, однако,
они менее универсальны. Так, широкое
применение получила эмпирическая
формула Блазиуса, пригодная при значениях
числа Рейнольдса, не превышающих
:
(5.59)
Этой формуле отвечает степенное выражение для распределения скорости потока по сечению трубы, область применения которого также ограничивается указанным значением числа Рейнольдса:
,
(5.60)
где у –расстояние от стенки трубы.
Это уравнение известно под названием закона Блазиуса.
Для максимальной
скорости на оси трубы (
)
.
(5.61)
Из равенств (5.30) и (5.31) получим
.