Функция когерентности

Функция когерентности определяется следующим образом:

Функция когерентности является аналогом коэффициента корреляции в частотной области и отражает степень линейной взаимосвязи гармонических компонент рассматриваемых процессов. Чем ближе функция когерентности к 1 на конкретной частоте f, тем больше совпадения гармонических составляющих на этой частоте. Как правило, именно функция когерентности, а не взаимная спектральная плотность используется в практических приложениях для анализа связанности процессов в частотной области.

Лекция 4. Wavelet-анализ.

Вейвлет анализ широко используется для нестационарных случайных процессов. Он показал свою эффективность для решения широкого класса задач, связанных с подавлением шумов, сжатием больших объемов информации.

Вейвлет анализ, как и преобразование Фурье, состоит в вычислении корреляции между анализируемым временным рядом и базисной функцией преобразования. Вейвлет преобразование, состоящее в разложении ряда по базису, сконструированному из обладающих определенными свойствами функций, называется Вейвлетом (маленькая волна) посредством ее масштабных изменений и переносов. Каждая вейвлет функция базиса характеризуется определенным масштабом (частотой) и локализацией во времени. В отличие от преобразования Фурье вейвлет преобразование дает двумерную развертку одномерного процесса, при этом частота и время рассматриваются как независимые переменные. В результате появляется возможность анализировать свойства процесса одновременно в частотной и временной областях. В основе вейвлет преобразования лежит идея многомасштабного анализа, который заключается в последовательном огрублении исходной информации, содержащейся в процессе.

Данный подход позволяет выявлять локальные области процесса и классифицировать их по интенсивности; отслеживать динамику частотного состава процесса во времени. Операция огрубления исходной информации осуществляется путем сглаживания исходного ряда с помощью функции вейвлета . Термин вейвлет обозначает локализованные во временной и частотной областях функции, обладающие следующими свойствами:

1. Вейвлет имеет среднее значение, равное нулю:

.

2. Ограниченность функции вейвлета, т.е. она быстро убывает при

3. Автомодельность, т.е. при любых масштабных изменениях вейвлета его форма (количество экстремумов) не меняется.

Данные свойства определяют большой класс действительных и комплексных функций, которые являются вейвлетами. Вейвлет локализован сразу в двух областях: временной и частотной. Для осуществления вейвлет преобразования произвольного временного ряда x(t) необходимо предусмотреть возможность сдвигов функции вейвлета вдоль временной оси и масштабных преобразований в частотной области путем сжатия или растяжения исходного вейвлета. Такую возможность реализует базисная функция следующего вида:

.

Соответственно, вейвлет преобразование сигнала имеет вид:

(4.1)

В этой формуле a и b являются действительными числами и определяют масштаб (величину обратно пропорциональную частоте) и временной сдвиг соответственно.

На основе этой базисной функции вейвлет преобразование временного ряда x(t) определенного на всей временной оси ( ) записывается в виде (4.1). В формуле (4.1) параметр «b» меняется в интервале от до , пробегая всю временную ось, т.е. всю временную область, на которой определена функция x(t). Параметр «a» меняется от 0 до . При использовании действительной функции вейвлета в результате преобразования получается двумерный массив коэффициентов W(a,b), а при применении комплексной функции вейвлета в результате получаются двумерные массивы модуля и фазы:

Алгоритм вычисления коэффициента вейвлет преобразования по формуле (4.1) для каждой пары параметров «a» и «b» выглядит следующим образом:

1. растянуть вейвлет в a раз по горизонтали в 1/a раз по вертикали;

2. сдвинуть вейвлет в точку по оси времени;

3. произвести вычисление вейвлета по (4.1) и усреднить значение полученной функции по ширине окна самого вейвлета;

Далее процедура повторяется для другой пары параметров «a» и «b» до тех пор, пока не будут рассчитаны вейвлет преобразования для всех значений «a» и «b». Полученные результаты W_ab представляются на графике преобразования следующим образом:

Результат кодируется цветом. Два наиболее распространенных вейвлета, применяемых в медицинских целях называются Сомбреро и Вейвлет Морле.

Вейвлет Морле

Сомбреро

Для дискретных сигналов формула расчета вейвлет-преобразования имеет вид:

(4.2)

сигнал, представленный в виде дискретных цифровых отсчетов;

вейвлет;

длительность окна вейвлет преобразования.

В медицинских целях вейвлет преобразование может применяться для сжатия исходных сигналов. В этом случае необходимо знать формулу обратного вейвлет преобразования, позволяющего восстановить исходный временной ряд:

нормализующий коэффициент.

Лекция 5. Основные характеристики линейных дискретных систем. Введение в цифровые фильтры. Основные определения и классификация цифровых фильтров.