Быстрое преобразование Фурье

Вычисление преобразования Фурье по формуле (2.7) предполагает выполнение N² раз операций сложения и умножения.

Основная идея быстрого преобразования Фурье состоит в разбиении исходного дискретного преобразования (2.7) на несколько частей, каждую из которых можно вычислить отдельно, а затем линейно просуммировать с остальными, чтобы получить исходное преобразование. Эти части малого размера можно разбить на еще меньшие, если считать длительность временного ряда равной N и использовать деление исходного преобразования (2.7) на каждом шаге на две части, то исходный временной ряд будет состоять из k частей так, что 2^k =N. Тогда для выполнения вычислений потребуется log₂N операций сложения и N/2 операций умножения на каждом шаге, что составляет приблизительно 4N*log₂N операций. Это значительно меньше тех N² операций, которые необходимы при вычислении по формуле (2.7). Эффективность алгоритма БПФ линейно возрастает с ростом длительности исходного сигнала.

Алгоритмы бпф с основанием 2

Пусть имеется исходное выражение дискретного преобразования Фурье (2.7). Заменим в этой формуле:

формула примет вид:

Основная идея БПФ состоит в том, чтобы разбить исходную N-точечную последовательность на две более короткие последовательности, ДПФ которых могут быть скомбинированы таким образом, чтобы получилось ДПФ исходной N-точечной последовательности. Представим данную методик для N-точечной последовательности, считая, что N=2^k. Введем две последовательности, длительность которых будет N/2. обозначим их как и .

четные элементы последовательности

нечетные элементы последовательности

Функция спектральной плотности

Функцию спектральной плотности называют также спектром плотности мощности, относящимся к характеристикам, с помощью которых анализируются свойства стационарных случайных процессов. Спектральная плотность применяется для анализа систем, подвергнутых действию случайных сигналов, для определения свойств систем по входным и выходным процессам, идентификации источников энергии и шума.

Подобно спектральной функции, которая определяется преобразованием Фурье, функция спектральной плотности характеризует гармонический состав исследуемого процесса. Различие этих функций состоит в том, что преобразование Фурье определяет амплитудный спектр сигнала, спектральная плотность - энергетический спектр. В отличие от преобразования Фурье спектральная плотность характеризует спектральный состав всего случайного процесса, т.е. ансамбля реализации, а не какую-то одну реализацию случайного процесса.

Функции спектральной плотности определяются тремя различными способами:

1. с помощью ковариационных функций;

2. через преобразование Фурье;

3. с помощью фильтрации.

На практике чаще всего применяют первый и второй способы.

Определение спектральной плотности через ковариационную функцию

Суть данного способа состоит в применении преобразования Фурье к предварительно вычисленной ковариационной функции. Пусть имеем два процесса X(t) и Y(t).

Ковариационные функции этих процессов:

Взаимокорреляционные функции (ВКФ) будут обозначаться как:

и

Функции спектральной плотности будут равняться:

Функции спектральной плотности для ВКФ:

Функции S_xx(f) и S_yy(f) называются двусторонними спектральными плотностями случайных процессов x(t) и y(t), так как согласно представленной формуле они определены для положительных и отрицательных частот.

Функции S_xy(f) и S_yx(f) называют двусторонними взаимными спектральными плотностями случайных процессов X(t) и Y(t).

Обратными преобразованиями Фурье будут следующие функции:

(1)

Эти четыре соотношения называют соотношениями Винера-Хинчина. Они имеют фундаментальное значение для анализа случайных сигналов, так как устанавливают связь между представлением случайного процесса во временной области (с помощью ковариационных функций) и в частотной области (с помощью спектральной плотности).

Если в (1) , то

Интеграл по всем частотам в правой части данного выражения равен ковариационной функции при , т.е. средней энергии процесса. Таким образом функция спектральной плотности характеризует распределение средней энергии случайного процесса по частотам. Однако в случае нестационарного процесса корреляционные функции не могут быть восстановлены по известной спектральной плотности.

Для определения ряда характеристик случайного процесса рассмотрим основные свойства функции взаимной спектральной плотности:

1.

Это свойство показывает, что вместо вычисления двух функций достаточно вычислить одну из них.

2. действительная часть от данной функции является четной.

3. мнимая часть является нечетной.

4. Для всех частот выполняется следующее соотношение:

Так функция спектральной плотности является комплексным числом, то ее можно записать так:

Две последние формулы соответственно определяют взаимный спектр амплитуд и взаимный спектр фаз. Спектр амплитуд характеризует энергетическое взаимодействие гармонических компонент двух процессов, а спектр фаз – временной сдвиг между компонентами.

На практике, как правило, вместо двусторонней спектральной плотности используют одностороннюю спектральную плотность:

Аналогичным образом определяется односторонняя взаимная спектральная плотность .

Второй способ определения взаимной спектральной плотности, называемый определение спектров через преобразование Фурье, является трудоемким для дискретных сигналов, каковыми являются медицинские сигналы. Поэтому его не рассматриваем.

Процедура нахождения спектральной плотности и взаимной спектральной плотности для дискретных сигналов аналогична нахождению на первом этапе ковариационной функции, а на втором этапе – дискретного или быстрого преобразования Фурье.